Ensino Médio ⇒ Reta Tangente à Elipse Tópico resolvido

[aleixoreis]

Desejo ajuda para o seguinte problema:

Consideremos a elipse de equação [tex3]\frac{x^2}{4} + y^2 =1[/tex3]. Determine as equações das retas que passam por [tex3]A(2,2)[/tex3] e são tangentes à elipse.

Uma das retas ([tex3]x-2=0[/tex3]) eu encontrei. Foi fácil porque o eixo maior da elipse vale 4 e esta tangente passa pelo vértice direito.

Desde já agradeço.

[poti]

Essa eu não sei fazer, mas dê uma olhada por Teorema das Tangentes para Elipse (se não me engano também se chama Teorema de Poncelet, mas não tenho certeza se é o mesmo). Tem algo a ver com isso. Você faz um triângulo com vértice nos focos e a ex-bissetriz (Bissetriz externa) vai ser a reta tangente. Descubra a equação dessa bissetriz que passa pelo A(2, 2) e boa sorte.

[Natan]

Qual seria a diferença entre a bissetriz interna e externa a um mesmo angulo??

[poti]

Não faz sentido essa pergunta Natan. A definição de bissetriz em interna e externa tem a ver com qual ângulo você está lidando. A bissetriz externa é o segmento de reta que divide o ângulo externo em duas partes iguais. Lembrando que ângulo externo é o suplementar do ângulo interno ao triângulo. Você consegue enxergá-lo prolongando o lado como está na figura upada.

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[hygorvv]

Consideremos a elipse de equação [tex3]\frac{x^2}{4} + y^{2} =1[/tex3].Determine as equações das retas que passam por [tex3]A(2,2)[/tex3] e são tangentes à elipse.

seja a reta tangente a elipse da forma
[tex3]y-2=m(x-2)[/tex3]
[tex3]y=m(x-2)+2[/tex3]

substitui na equação da elipse
[tex3]x^{2}+4(m(x-2)+2)^{2}=4[/tex3]
[tex3]x^{2}+4m^{2}(x-2)^{2}+16m(x-2)+16=4[/tex3]
[tex3]x^{2}+4m^{2}x^{2}-16m^{2}x+4+16mx-32+12=0[/tex3]
[tex3]x^{2}(4m^{2}+1)+16mx(1-m)-16=0[/tex3]
como temos apenas um ponto em comum, [tex3]\Delta=0[/tex3]
agora desenvolve, encontra os valores de [tex3]m[/tex3] e chega as equaçoes das retas, nao vou tentar concluir pois estou no trampo =P

espero que te ajude

[aleixoreis]

Prezado hygorvv:
Agradeço a resposta enviada tarde da noite.
Todavia, creio que há um erro no desenvolvimento e a equação
final seria:
x² + 4m²x² - 8m²x + 16mx -32m + 12 = 0
x²(4m² +1) -x(8m² - 16m) - 32m + 12 = 0

Se for calculado o delta dessa equação resultará, se eu estiver certo, em um polinômio de 4º grau.

Estou correto ou não?

[ ]'s.

[poti]

aleixoreis, concordo com você nessa. Cheguei em:

[tex3]256m^2(m^2 + 2m + 1) - (16m^2 + 4)(-32m + 12) = 0[/tex3]

que no fim dá em duas raízes reais não exatas e dois números complexos.

[hygorvv]

rapaziada, eu estou desenvolvendo as expressoes sem papel pois estou no trampo, tentem rever o que eu fiz, deve haver algum erro no meu desenvolvimento, tentem do princípio:
[tex3]x^{2}+4(m(x-2)+2)^{2}=4[/tex3]

[Natan]

Olá amigos,

Começamos por desenhar o gráfico da elipse, o que não é difícil, para podermos observar as digamos tangente triviais que são as tangentes verticais e horizontais, a saber são as retas: [tex3]x=-1,\, x=1,\, x=-2[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3] das quais a única que passa pelo ponto pedido é a última, então já temos a primeira:

[tex3]\boxed{x=2}[/tex3]

Para achar as demais, suponha uma reta qualquer que contenha o ponto [tex3](2,\, 2),[/tex3] no caso [tex3]y=a(x-2)+2.[/tex3]

Como ela deve ser tangente devemos ter um único ponto de interseção entre ela e a elipse, o que equivale a dizer que o sistema abaixo deverá ter solução única:

[tex3]\begin{cases} x^2+4y^2=4 \\ y=a(x-2)+2\end{cases}[/tex3]

resolvendo então:

[tex3]x^2+4(a(x-2)+2)^2=4[/tex3] abrindo o quadrado e fazendo as contas:
[tex3]x^2+4a^2x^2-16a^2x+16a^2+16ax-32a+16=4 \\ (1+4a^2)x^2+(16a-16a^2)x+16a^2-32a+12=0[/tex3]

notem que temos uma equação de grau 2 com coeficientes dependendo de [tex3]a,[/tex3] que terá solução única quando [tex3]\Delta=0[/tex3] e daí chegamos em:

[tex3](16a-16a^2)^2-4(1+4a^2)(16a^2-32a+12)=0 \\ 16(a^2-2a^3+a^4)=4a^2-8a+3+16a^4-32a^3+12a^2 \\ 16a^2-\cancel{32a^3}+\cancel{16a^4}=4a^2-8a+3+\cancel{16a^4}-\cancel{32a^3}+12a^2\, \Rightarrow\, 8a=3\, \therefore\, a=\frac{3}{8}[/tex3]

e assim temos a reta:

[tex3]y=\frac{3}{8}(x-2)+2\, \Rightarrow\, \boxed{8y=3x+10}[/tex3]

Observações:

a análise inicial é necessária pois note que com retas da forma [tex3]y=a(x-2)+2[/tex3] não estamos considerando as retas verticais( que tem o y nulo).

[aleixoreis]

Prezado Natan:
Agradeço o interesse e parabéns pela solução.

[ ]'s.