IME / ITA ⇒ (ITA - 1975) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência. Sabe-se que [tex3]\hat{A}=2\hat{C}[/tex3], [tex3]\hat{B} > \hat{D}[/tex3] e [tex3]tg \hat{B}.tg \hat{D}+sen \hat{A}.sen \hat{C}=-\frac{9}{4}[/tex3].

Neste caso, os valores de [tex3]\hat{A}[/tex3], [tex3]\hat{B}[/tex3],[tex3]\hat{C}[/tex3], [tex3]\hat{D}[/tex3] são, respectivamente,

a) [tex3]150^\circ[/tex3], [tex3]45^\circ[/tex3], [tex3]75^\circ[/tex3], [tex3]30^\circ[/tex3].
b) [tex3]90^\circ[/tex3], [tex3]120^\circ[/tex3], [tex3]45^\circ[/tex3], [tex3]60^\circ[/tex3].
c) [tex3]120^\circ[/tex3], [tex3]160^\circ[/tex3], [tex3]60^\circ[/tex3], [tex3]30^\circ[/tex3].
d) [tex3]120^\circ[/tex3], [tex3]120^\circ[/tex3], [tex3]60^\circ[/tex3], [tex3]60^\circ[/tex3].
e) nenhuma das anteriores.

Resposta

---

d

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, Aldrin!

Por ser um quadrilátero inscritível :
[tex3]\hat{A} + \hat{C} = 180[/tex3]

[tex3]\hat{B} + \hat{D} = 180[/tex3]

Então, com o auxílio da equação dada, descobre-se que

[tex3]\hat{A} = 120[/tex3]

[tex3]\hat{C} = 60[/tex3]

Com o auxílio da outra equação e sabendo que [tex3]tg \alpha = - tg (180- \alpha)[/tex3]

[tex3]{-} tg^2 \hat{B} = - 3 \Rightarrow tg \hat{B} = - \sqrt{3}[/tex3]

Veja que a raiz positiva não nos interessa, pois o problema diz que [tex3]\hat{B} \gt \hat{D}[/tex3].

Então, [tex3]\hat{B} = 120[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]\hat{D} = 60[/tex3]

Letra [tex3]\boxed{\boxed{D}}[/tex3]

Abraço