Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton Tópico resolvido

[Logica²]

O termo racional do desenvolvimento de [tex3]\(\sqrt[5]{5}+\sqrt[3]{2}\)^{8}[/tex3] é:

a) [tex3]1.120[/tex3]
b) [tex3]480[/tex3]
c) [tex3]560[/tex3]
d) [tex3]360[/tex3]
e) [tex3]280[/tex3]

[brain_tnt]

O termo geral do binômio [tex3](a+b)^n[/tex3] é

• [tex3]T_{k+1}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\cdot a^{n-k}\cdot b^k[/tex3]

• [tex3]T_{k+1}=\frac{8!}{k!(8-k)!}\cdot (\sqrt[5]{5})^{8-k}\cdot (\sqrt[3]{2})^k =\frac{8!}{k!(8-k)!}\cdot 5^{\frac{8-k}{5}}\cdot 2^{\frac{k}{3}}[/tex3]

Para que tenhamos um termo racional,

• [tex3]\frac{8-k}{5}=5m, \text{ }m \in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]\frac{k}{3}=3n,\text{ }n \in\mathbb{N}[/tex3]

Por inspeção, concluímos que [tex3]k=3.[/tex3] Logo,

• [tex3]T_{3+1}=\frac{8!}{3!(8-3)!}\cdot 5^{\frac{8-3}{5}}\cdot 2^{\frac{3}{3}}=56\cdot 5\cdot 2=560.[/tex3]

[ALDRINMOD]

Fonte: (UFMA - 2007).

[jacobi]

• [tex3]\frac{8-k}{5} = m, \text{ }m \in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]\frac{k}{3} = n,\text{ }n \in\mathbb{N}[/tex3]