Ensino Médio ⇒ (Cefet -2011 MG) Geometria espacial Tópico resolvido

[cesaraugusto]

Para homenagear e presentear o ex-presidente da República, um
artista plástico esculpiu em cristal uma estrutura maciça em três
dimensões, sugerindo a bandeira do Brasil, conforme a figura
seguinte.

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Um cubo, um octaedro regular e uma esfera foram esculpidos de
forma a inscrever o octaedro no cubo e a esfera no octaedro. Se o
diâmetro da esfera mede 12 cm, então, a altura H da peça, em cm, é

Resposta

---

resposta : 12 rais de 3 cm

[hygorvv]

por pitágoras, achamos que o lado do octaedro vale
L²=(H/2)^2+(H/2)^2
L²=H²/2

seja O o centro do triangulo e P o ponto médio do lado do octaedro e V um vértice que está na face do cubo, trace o triangulo VPO
temos que VP=Lsqrt(3)/2 , OP=L/2 e OV=H/2

trace o segmento OT (onde T é o ponto de tangencia da esfera com a face)
note que os triangulo OTP e OTV sao semelhantes
por semelhança
L/2/H/2=R/x
onde (H/2)^2=x²+R²
x²=(H/2)^2-R²
L/H)^2=R²/x²
H²/2/H²=R²/(H/2)^2-R²
1/2=4R²/(H²-4R²)
H²-4R²=8R²
H²=12R²
H=2Rsqrt(3)
2R=12
H=12\sqrt(3) cm

espero que compreenda

[ALDRINMOD]

Considerando as medidas em [tex3]cm[/tex3]:

[tex3]a[/tex3] = medida do lado do octaedro;

[tex3]r[/tex3] = raio da esfera inscrita no octaedro;

H = altura do cubo; e

D = diagonal do quadrado formado pelo centro do octaedro.

Temos,

[tex3]r=\frac{\sqrt6}{6}\cdot a[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{\sqrt6}{6}\cdot a=6[/tex3]
[tex3]a=\frac{36}{\sqrt6}[/tex3]
[tex3]a=6\sqrt{6}[/tex3]

Temos também que,

[tex3]H=D=a\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]H=D=6\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}[/tex3]

[tex3]H=12\sqrt{3}[/tex3]

[Natan]

Olá,

olhando o sólido de cima, vemos exatamente a bandeira brasileira. Note que sendo o diâmetro no caso da circunferência sendo 12, este é o mesmo valor do lado do losango( que no caso é um quadrado) e que por sua vez é o valor das 4 arestas não oblíquas do tetraedro.

Com isso formaremos um triângulo retângulo da seguinte maneira:

a altura [tex3]h[/tex3] é a altura de uma das pirâmides que compõe o tetraedro( metade da altura pedida por sinal, ou seja [tex3]h=\frac{H}{2}[/tex3]).

a base será o apótema da base dessa mesma pirâmide, no caso metade do lado do quadrado: 6.

a hipotenusa a altura de um dos triângulos laterais que formam os lados do tetraedro, como todos são equiláteros de lado 12, temos que tal altura mede [tex3]6\sqrt{3}.[/tex3]

Aplicando pitágoras então:

[tex3]108=36+\frac{H^2}{4}\, \Right\, H^2=4(108-36)\, \therefore\, H=12\sqrt{2}[/tex3]