Concursos Públicos ⇒ Petrobras-Engenharia de Petrólio

[Natan]

A função real F de variável real é tal que [tex3]F(x)=\int e^{3x+1}dx\, e\, F(0)=e.[/tex3] Outra forma de apresentar a função F é:

[tex3]a)\, F(x)=2e^{3x+1}-e \\ b)\, F(x)=3e^{3x+1}-2e \\ c)\, F(x)=\frac{e}{3}(e^{3x}+2) \\ d)\, F(x)=\frac{3e}{5}(e^{3x}+\frac{2}{3}) \\ e)\, F(x)=e^{3x+1}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Natan.

[tex3]\int e^{3x+1}dx =\int e^{3x}.edx[/tex3]

[tex3]3x=u \Rightarrow 3dx=du \Rightarrow dx=\frac{du}{3}[/tex3]

[tex3]\int e^{3x}.edx =\int e^u.e .\frac{du}{3}=\frac{e}{3}\int e^u du =\frac{e}{3}.e^u+C=\frac{e}{3}.e^{3x}+C[/tex3]

Sendo [tex3]F(0)=e[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{e}{3}.e^{3x}+C=e \Rightarrow \frac{e}{3}.e ^{(3.0)}+C=e \Rightarrow C=\frac{2}{3}e[/tex3]

Logo, teremos:

[tex3]F(x)=\frac{e}{3}.e^{3x}+\frac{2}{3}e \Rightarrow F(x)=\frac{e}{3}(e^{3x}+2)[/tex3]

Alternativa:c