IME / ITA ⇒ Geomtria II - Questão 299 Tópico resolvido

[bryanbr2]

Ai galera tem um questão muito doida que meu professor disse que só sai por trigonometria, sera que tem outra forma ,s se tiver me explica ai por favor!

a Resposta é:D

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, bryan

Vamos utilizar a lei dos cossenos e a fórmula da divisão do ângulo em dois para cosseno.

Primeiro, sabemos que :

[tex3]\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex3]

[tex3]\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex3]

[tex3]\cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}[/tex3]

Agora, aplicando a fórmula da divisão de ângulos :

[tex3]\cos A/2 = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}[/tex3]

Como o ângulo de um triângulo plano qualquer nunca é maior ou igual a 180 graus, devemos usar a solução positiva, pois o ângulo metade certamente ocupa o primeiro quadrante.

Portanto,

[tex3]\cos A/2 = \sqrt{\frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc}}[/tex3]

[tex3]\cos B/2 = \sqrt{\frac{(a+c)^2 - b^2}{4ac}}[/tex3]

[tex3]\cos C/2 = \sqrt{\frac{(b+a)^2 - c^2}{4ab}}[/tex3]

Multiplicando os 3 :

[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc} \cdot \frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4ac} \cdot \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}[/tex3]

veja que [tex3]p-a = \frac{(b+c-a)}{2}[/tex3]

e o mesmo se dá com os outros, então :

[tex3]\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(b+c-a)}{2bc} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+c-b)}{2ac} \cdot \frac{(a+b+c)}{2} \cdot \frac{(a+b-c)}{2ab}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) \cdot \frac{p^2}{(abc)^2}}[/tex3]

Vê-se a fórmula de Herão, então chamando a área do triângulo de [tex3]A[/tex3] :

[tex3]\frac{p}{abc} \cdot A[/tex3]

A fórmula para a área do triângulo em função dos lados e do raio do círculo circunscrito a este é

[tex3]A = \frac{abc}{4R}[/tex3]

Então, fazendo a substituição :

[tex3]\frac{p}{abc} \cdot \frac{abc}{4R} = \frac{p}{4R}[/tex3]

letra [tex3]\boxed{\boxed{D}}[/tex3]

Valeu, bryan. Abraço!

[bryanbr2]

caraca cara brigadao!

[ALDRINMOD]

Essa questão já tinha no Fórum:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... f=3&t=9708