IME / ITA ⇒ (EPCAR 2004) Análise Combinatória Tópico resolvido

[chitao75]

De quantos modos 3 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos ?

a) 12
b)120
c) 72
d)32

Pessoal, eu já vi a resolução dessa questão de maneira extensa com vários desdobramentos. Por outro lado, encontrei na Net uma fórmula de Permutação Circular Pc = (m) = (m-1) !. Alguém consegue resolver por ela, eu não consegui deu 120 e com a restrição que foi feita através da fórmula eu eliminei um dos casais, fazendo assim uma permutação com repetição:

[tex3]\frac{120}{2! 2!}[/tex3] = 30 só consegui aproximando-se do valor. Alguém, por favor ajude-me com essa dita fórmula não sei se é bem esta, sei que é possível resolver.

[leotrin]

nunca cheguei a estudar no colégio perumatação circular e a única coisa que sei foi o que eu vi na net também
a fórmula da permutação circular é [tex3]Pc_n = (n-1)![/tex3]

e acho que o melhor jeito de resolver essa questão é fazer todos os casos (5!) subtraindo-se os casos desfavoráveis (quando tem 1, 2 ou 3 casais juntos)

[FilipeCaceres]

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1º Situação:
Colocando o homem do 1º casal em 1 e a mulher na posição em 4.
2º homem pode sentar em qualquer outra posição(2,3,5,6) a mulher terá apenas duas possibilidade. Por exemplo, se ele se sentar na cadeira 2 a mulher pode sentar em 5 ou 6.Para cada uma das posiçoes acima para o 3º homem existem 2 possibilidades. Por exemplo,se o 2º homem sentar em 2 e mulher em 5,podemos colocar o 3º homem em 3 e amulher em 6.
Assim temos nesta situação 4 x 2 x 2 = 16 possibilidades.

2º Situação:
Colocando o homem do 1º casal em 1 e a mulher na posição em 3.
Se o 2º homem sentar em 2 necessariamente a mulher terá que sentar em 5, de modo que a evitar que o 3º casal fiquem juntos. Se 2º homem sentar em 4 a mulher tera que sentar em 6 e se o homem sentar em 6 a mulher terá que sentar em 4. Para cada uma destas duas possibilidades, temos duas possibilidades para 3º casal. Se 2º homem semtar em 5 a mulher deve sentar em 2 e temos, novamente , duas possibilidades para o 3º casal.
Portanto, temos nesta situação 1 x 2 + 2 x 2 + 1 x 2 = 8 possibilidades.

3º situação:
Colocando o homem do 1º casal em 1 e a mulher na posição em 5.
A análise é idêntica à análise da situação 2, onde encontraremos 8 possibilidades.

Deste modo, temos um total 16 + 8 + 8 = 32 modos.

Peço que faça um circulo e vá colocando cada homem nas posições conforme for lendo, para que você tenho um melhor entendimento.

Espero ter ajudado.