Pré-Vestibular ⇒ (Sta. Casa) Funções Tópico resolvido

[jessicamukai]

Considere a função f(x) + 2 . f (1/x) = 3x.

a) Obtenha f(x).
b) Calcule quantas soluções distintas possui a equação f(x) = f(-x).

[poti]

Letra a) Para a soma de uma função com sua recíproca resultar em uma função afim, os termos recíprocos tem que se anular e os lineares na soma tem que resultar em [tex3]3x[/tex3]. (É muito subjetivo esse meu jeito de fazer, espero que alguém consiga fazer melhor).

Então:
[tex3]\frac{n}{x} - m.x + 2(\frac{n}{\frac{1}{x}} - \frac{m}{x}) = 3x[/tex3]
[tex3]\frac{n}{x} - m.x + 2n.x - \frac{2m}{x} = 3x[/tex3]

Só que [tex3]\frac{n}{x}[/tex3] tem que se anular com [tex3]{-} \frac{2m}{x}[/tex3], então fazemos um sistema de duas equações:

[tex3][\frac{n}{x} - \frac{2m}{x} = 0[/tex3]
[tex3][{-}m.x + 2n.x = 3x[/tex3]

[tex3]m = 1, n = 2[/tex3].

[tex3]f(x) = \frac{n}{x} - m.x = \frac{2}{x} - x[/tex3]

Letra b) Fazendo as substituições

[tex3]\frac{2}{x} - x = -\frac{2}{x} + x[/tex3]
[tex3]\frac{4}{x} - 2x = 0[/tex3]
[tex3]4 - 2x^2 = 0[/tex3]
[tex3]S = (+\sqrt{2}, -\sqrt{2})[/tex3]

Questão linda, fiquei feliz ao conseguir

[jessicamukai]

É uma questão bem complicada mesmo, rs
Muito Obrigada! =D

[MacoZampi]

acho q assim eh mais fácil:

a-)
[tex3]f(x) +2f\(\frac{1}{x}\) = 3x[/tex3]

ai substitui x por [tex3]\frac{1}{x}[/tex3], ficando:

[tex3]f\(\frac{1}{x}\) + 2f(x) = \frac{3}{x}[/tex3]

ai isolando f(x) na 2º equação e substituindo na primeira, acha-se

[tex3]f(x)=\frac{2}{x}-x[/tex3]


b-)
único número igual ao seu oposto eh 0, logo:
[tex3]f(x)=0[/tex3]
[tex3]\frac{2}{x}-x=0[/tex3]
[tex3]x^2 -2 = 0[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}, -\sqrt{2}[/tex3]