IME / ITA ⇒ (Escola Naval - PS-QC - 2010) Derivada Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere a equação a seguir.

[tex3]h(x)=\frac{x^3}{\sqrt[3]{3x^2-1}}[/tex3]

Assinale a opção que apresenta o resultado para a derivada da equação acima.

(A) [tex3]\frac{3x^2}{(3x^2-1)^{4/3}}[/tex3].

(B) [tex3]\frac{x^2(7x^2-3)}{(3x-1)^{1/3}}[/tex3].

(C) [tex3]\frac{3x^2-2}{(3x^2-1)^{1/3}}[/tex3].

(D) [tex3]\frac{x^2(7x^2-3)}{(3x^2-1)^{4/3}}[/tex3].

(E) [tex3]\frac{7x^3-3x}{(6x-1)^{4/3}}[/tex3].

[FilipeCaceres]

Seja [tex3]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},v(x)\neq 0[/tex3]
[tex3]f'(x)=\frac{u'.v-u.v'}{v^2}[/tex3]

Fazendo:
[tex3]u=x^3[/tex3]
[tex3]u'=3x^2[/tex3]
[tex3]v(x)=\sqrt[3]{3x^2-1}[/tex3]
[tex3]v'(x)=\frac{6x}{3.(3x^2-1)^{\frac{2}{3}}}[/tex3]

Logo temos:
[tex3]h'(x)=\frac{3x^2.\sqrt[3]{3x^2-1}- \frac{x^3.6x}{3.(3x^2-1)^{\frac{2}{3}}}}{(3x^2-1)^{\frac{2}{3}}}[/tex3]
[tex3]h'(x)=\frac{3.3x^2.\sqrt[3]{3x^2-1}.\sqrt[3]{(3x^2-1)^2}-6x^4}{3(3x^2-1)^{\frac{4}{3}}}[/tex3]
[tex3]h'(x)=\frac{3x^2.(3x^2-1)-2x^4}{(3x^2-1)^{\frac{4}{3}}}[/tex3]
[tex3]\boxed{h'(x)=\frac{x^2.(7x^2-3)}{(3x^2-1)^{\frac{4}{3}}}}[/tex3]

Espero ter ajudado.