Concursos Públicos ⇒ Área do Losango

[rean]

Uma circunferência de raio R está inscrita num losango ABCD cuja diagonal maior é [tex3]AC= 4R[/tex3]. Calcule a área dos triângulos mistilíneos AMN e MBP.

Screen Shot 2018-06-10 at 09.21.26.png (27.93 KiB) Exibido 980 vezes

Resposta

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Resp. [tex3]\frac{R^{2}}3 \times (3\sqrt {3}-\pi)[/tex3] e [tex3]\frac{R^2}6 \times (2\sqrt {3}-\pi)[/tex3]

[Diego996]

Resolvamos a questão...

Veja a figura abaixo, que nos permitirá tirar as conclusões:

465_circunferncia4_1.jpg (14.88 KiB) Exibido 70 vezes

Chamaremos as áreas em questão de I e II conforme a imagem...

Calculando o seno, no triângulo TAN:
[tex3]sen(T\widehat{A}N) = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow m(T\widehat{A}N) = 30^\circ[/tex3]
Calculando no triângulo TAM:
[tex3]sen(T\widehat{A}M) = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow m(T\widehat{A}M) = 30^\circ[/tex3]

Então, o ângulo MÂN é [tex3]m(M\widehat{A}N) = 60^\circ[/tex3]

A soma dos ângulos internos do quadrilátero AMTN deve ser 360°, o que nos permite concluir que [tex3]m(M\widehat{T}M) = 120^\circ[/tex3]

A área do quadrilátero AMTN é igual a soma das áreas dos triângulos AMT e ANT. Como são dois triângulos iguais e, portanto, de mesma área:
[tex3]A_{AMTN} = 2A_{\Delta AMT} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R \cdot sen 60^\circ = R^2 \cdot \sqrt 3[/tex3]

A área da região I é igual à área do quadrilátero AMTN, menos a área do setor circular MNT...
[tex3]\begin{array}{l}
A_{SetorMNT} = \frac{{120^\circ }}{{360^\circ }} \cdot \pi \cdot R^2 = \frac{\pi }{3} \cdot R^2 \\
A_I = A_{AMTN} - A_{SetorMNT} = R^2 \cdot \sqrt 3 - \frac{\pi }{3} \cdot R^2 = \left( {\frac{{3\sqrt 3 - \pi }}{3}} \right)R^2 \\
\end{array}[/tex3]

Para encontrar a área da região II, basta proceder da mesma maneira que a acima, e encontraremos:
[tex3]A_{II} = A_{MBPT} - A_{SetorMPT}[/tex3]
É só fazer o cálculo da expressão acima, tomando como base a figura, e encontra-se a área da região II...

FALOW