Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área do Círculo e suas Partes

[rean]

Calcular a área do circulo [tex3]O',[/tex3] cuja circunferência é tangente à circunferência [tex3]O[/tex3] de raio [tex3]5 \text{m}[/tex3] e aos catetos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] do triângulo retângulo isósceles [tex3]ABC.[/tex3]

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[Diego996]

Olá Rean

Vamos à solução. Veja a imagem:

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Os triângulos retângulos [tex3]ABO[/tex3] e [tex3]ADO[/tex3] também são isósceles.
O segmento [tex3]AB[/tex3] é tangente à circunferência menor. Logo, se ligarmos o centro da circunferência menor [tex3](O')[/tex3] até o ponto de tangência [tex3](C),[/tex3] obteremos um ângulo reto. Consequentemente, temos a imagem:

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Os ângulos roxos com uma marca medem [tex3]45^\circ[/tex3] e os de duas marcas medem [tex3]90^\circ.[/tex3]

Logo o triângulo [tex3]O'CA[/tex3] é isósceles. Sabemos que o diâmetro da circunferência maior é [tex3]10.[/tex3]
Seja [tex3]r[/tex3] o raio da circunferência menor:

[tex3]O'C = AC = r[/tex3], pois o triângulo é isósceles.

Considere agora a imagem abaixo:

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Pela regra da potência de ponto, nessa circunferência, é válido que:

• [tex3]r^2 = (10 - 2r) \cdot (10 - 2r + 2r) \\
  r^2 = 10(10 - 2r) \\
  r^2 = 100 - 20r \\
  r^2 + 20r - 100 = 0 \\
  \triangle = b^2 - 4ac = 400 + 400 = 800 \\
  r = \frac{ - 20 \pm \sqrt {800} }{2} = \frac{ - 20 \pm 20\sqrt {2} }{2} \Rightarrow r = 10\sqrt 2 - 10 = 10(\sqrt{2} - 1)[/tex3]

Logo, a área do círculo menor é:

• [tex3]A = \pi r^2 = \pi \cdot 100(\sqrt 2 - 1)^2 = \pi \cdot 100(3 - 2\sqrt 2 ) = 100(3 - 2\sqrt 2 )\pi.[/tex3]