Pré-Vestibular ⇒ (CONVEST - 2000) Geometria Plana

[HEITORSONIC]

ajuda para resolver esse problema por favor?

Seja P um ponto na circunferencia inscrita num triangulo equilatero ABC de lado 4.Indique PA ao quadrado + PB ao quadrado + PC ao quadrado

[FilipeCaceres]

triangulo_circunscrito.GIF (2.41 KiB) Exibido 505 vezes

Como P pode estar em qualquer ponto, para facilitar os calculos coloquei no ponto de tangência da cincunferência com o triângulo.
Assim temos que,
[tex3]\bar{PA}=2[/tex3]
[tex3]\bar{PB}=2[/tex3]

Agora basta encontrar [tex3]\bar{PC}[/tex3], pela lei dos cossenos temos,
[tex3]x^2=2^2+4^2-2.2.4.cos60[/tex3]
[tex3]x^2=20-8[/tex3]
[tex3]x=2.\sqrt{3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\bar{PA}^2+\bar{PB}^2+\bar{PC}^2=2^2+2^2+(2\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]\boxed{\bar{PA}^2+\bar{PB}^2+\bar{PC}^2=20}[/tex3]

Espero ter ajudado