Pré-Vestibular ⇒ (CONVEST - 1999) Geometria Plana

[HEITORSONIC]

Um triangulo ABC tem lados medindo AB=12, BC=15 e AC=18. Sejam M, N nos lados AB, AC respectivamente, tais que AM=3, NA=12 Seja P a interseção da reta por M,N com reta por B,C. Determine BP.

[lftm]

A solução é imediata pelo teorema de Menelaus. Quando as distâncias de três pontos situados nos lados de um triângulo até os vértices cumprem uma certa relação, eles são colineares. Nesse caso, as distâncias possuem sinal, então temos que tomar cuidado. Chame BP = x.

A relação é: [tex3]\frac{AM}{MB} \frac{BP}{PC} \frac{CN}{NA} = -1 \rightarrow \frac{3 . x . 6}{9 . (15 - x) . 12} = -1 \rightarrow 18x = 108x - 1620 \rightarrow x = \frac{1620}{90} = 18[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Lftm,

O teorema de Menelaus não é igual a 1? Por que vc colocou igual a -1?

Abraço

[lftm]

O sinal é o que torna ele diferente do teorema de Ceva.

Quando dá 1, as retas que partem dos vértices opostos até o ponto se cruzam em um único ponto. Quando dá -1, os pontos são colineares. Se você considerar o comprimento dos segmentos sem o sinal, vai dar 1 para ambos, aí pode confundir um pouco, por isso eu prefiro considerar ele com o sinal negativo.

Claro, para esse problema não foi nada que desse muito trabalho, você podia simplesmente checar o valor de x e ver se era maior ou menor que o lado, mas para casos mais gerais você pode se enrolar. Infelizmente, algumas vezes esses dois teoremas são abordados sem tratar essa possível ambiguidade.