IME / ITA ⇒ Desigualdade das médias

[RonaldoJr]

Prove que :
[tex3]\sqrt {1} +\sqrt {2} +\sqrt {3}[/tex3]+...+[tex3]\sqrt {n} \gt[/tex3] n

E eu tbm não tenho uma solução "rápida" para essa:

Se a [tex3]\geq[/tex3] 0 e b [tex3]\geq[/tex3] 0
Prove que [tex3]\sqrt {a^5+b^5} \geq[/tex3] [tex3]a^4 b^1 + b^4 a^1[/tex3]
Fonte: Solving Problems in Algebra and trigonometry.( Litvinenko)

[hygorvv]

nao seria
[tex3]\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n} \ge n[/tex3]
não?

Se for, e n E N, tu pode tentar por indução.

[poti]

Já tentou pensar geometricamente ? Acho que dá pra resolver por vetores mesmo, mas não tenho certeza. Vou dar uma olhada nos meus livros e te falo.

[RonaldoJr]

É isso mesmo maior ou igual..... mas eu não to muito acostumado com os códigos ainda...

[hygorvv]

por induçao
para [tex3]n=1[/tex3]
[tex3]\sqrt{1} \ge 1[/tex3] (verdadeiro)

para [tex3]n=k[/tex3] (hipótese)
[tex3]\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k} \ge k[/tex3]
deve ser verdadeiro para [tex3]n=k+1[/tex3] (tese)
[tex3]\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1} \ge k+1[/tex3]

da hipótese, sabemos que [tex3]\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{k} \ge k[/tex3]
entao, devemos provar que [tex3]\sqrt{k+1} \ge 1[/tex3] para a sentença ser verdadeira;
[tex3]\sqrt{k+1} \ge\sqrt{1}[/tex3]
[tex3]k+1 \ge 1[/tex3]
[tex3]k \ge 0[/tex3] (o que é verdade, pois estamos usando somente os números Naturais.)

espero que seja isso.

[RonaldoJr]

É leq por indução tbm acho q essa é a solução msm! Vlw = ]
E pra segunda vc tem alguma ideia boa?

[lftm]

A segunda proposição é falsa. Tome a=b=1.

[RonaldoJr]

Pior que é mesmo leq....
Tava nervoso com a segunda já... nem pensei em testar....
Obrigado pela ajuda, hygorvv e lftm! = ]