Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Completas

[paulo testoniMOD]

De quantos modos podemos distribuir [tex3]23[/tex3] balões para [tex3]8[/tex3] crianças sendo que cada uma deve receber no mínimo [tex3]2[/tex3] balões.

[italoemanuell]

Olá paulo testoni.

O número de soluções inteiras não negativas da equação [tex3]x_1+x_2+\ldots +x_n=r[/tex3] é [tex3]\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}.[/tex3]

Sejam [tex3]x_1,x_2,\ldots x_8[/tex3] a quantidade de balões que cada uma das oito crianças recebe. Logo,

• [tex3]x_1+x_2+\ldots+x_8=23[/tex3]

De modo que cada criança receba no mínimo dois balões, podemos fazer [tex3]x_1=y_1+2, x_2=y_2+2,\ldots ,[/tex3] [tex3]x_8=y_8+2[/tex3]. Assim,

• [tex3]y_1+y_2+\ldots+y_8=7[/tex3]

Portanto, os [tex3]23[/tex3] balões podem ser distribuídos de

• [tex3]\frac{(7+8-1)!}{7!(8-1)!}=\frac{14!}{7!7!}=3.432[/tex3] maneiras.