Olimpíadas ⇒ OBM - Teoria dos números

[Abelardo]

Seja p o maior fator primo do número N = 512^3 + 675^3 + 720^3. A soma dos algarismos de p é igual a:

a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17



Tentei fazer a questão. Primeiro fatorei as três parcelas, depois procurei fatores em comum... mas não deu certo. Tentei criar, por artifícios, um trinômio quadrado perfeito, não deu.
Será que existe alguma técnica? Congruência pode ser usada para ajudar? !

[FilipeCaceres]

Olá,
Veja que,

[tex3]a=512=2^9[/tex3]
[tex3]b=675=3^3.5^2[/tex3]
[tex3]c=720=2^4.3^2.5[/tex3]

Agora, note que
[tex3]2c^2=3ab[/tex3]
[tex3]2.2^8.3^4.5^2=3.2^9.3^3.5^2[/tex3]

Agora vamos tentar montar a expressão,
[tex3]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(z^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)[/tex3]

Logo,
[tex3]N = a^3 + b^3 + c^3[/tex3]
[tex3]N= a^3 + b^3 - c^3 + 2c^3[/tex3]
[tex3]N= a^3 + b^3 - c^3 +2c^2.c[/tex3]
[tex3]N= a^3 +b^3 - c^3 + 3abc[/tex3]

Fazendo [tex3]x = -c[/tex3] temos,
[tex3]N = a^3 + b^3 + x^3- 3abx[/tex3]
[tex3]N= (a+b+x)(a^2+b^2+x^2-ab-bx-ax)[/tex3]
[tex3]N= 467\cdot 1745209[/tex3]

Como 467 é primo, temos
[tex3]S= 4+6+7 = 17[/tex3]

Resposta [tex3]\text{Letra B}[/tex3]

Abraço.

[Abelardo]

Super legal cara, passei dias olhando para essa questão, mas não via solução ...

Essa igualdade é incomum? Esse produto do 2º membro é ''notável''?

Obrigado mesmo pela resolução.

[FilipeCaceres]

Eu não demonstrei, mas vamos fazer assim, tente demontrá-la caso não consiga poste um novo tópico perguntando como se fatora [tex3]x^3+y^3+z^3-3xyz[/tex3]

Que dai postaremos como fatorar.

Abraço.

[lftm]

[tex3]N= 467\cdot 1745209[/tex3]

Como 467 é primo, temos
[tex3]S= 4+6+7 = 17[/tex3]

Resposta [tex3]\text{Letra B}[/tex3]

Abraço.

Eu cheguei nisso mas não consegui provar que 467 era o maior primo. Até que fiz um programa pra fatorar o número e vi que realmente não era.
[tex3]N = 229 \cdot 467 \cdot 7621[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá ftm,

Acredito que você tenha feito algo de errado no seu programa, pois 467 é primo, mas no entanto 7621 também é primo,acho que fatorei errado o outro número, pois tinha encontrado 467 como maior.
Desta forma temos que,
[tex3]p=7+6+2+1[/tex3]
[tex3]\boxed{p=16}[/tex3]

Abraço.

[lftm]

Ahn? 467 realmente é primo, só que não é o maior primo que divide o número, por causa do 7621.
Pra achar o 7621 foi que eu fiz o programa, o que tem de errado com a fatoração? A multiplicação dos números dá errado?

[FilipeCaceres]

Eu pensei que você estivesse falando do 467, mas quando a o outro número que eu havia me referido era do 1745209, eu acho que devo ter fatorado ele errado no dia e ter encontrado 467 como o maior, mas verificando novamente percebi que 7621 é o maior primo.

Acredito que deva ter uma outra forma mais fácil, achei esta solução um pouco "bruta".

Abraço.

[Auto Excluído (ID:276)]

Essa solução creio que esteja correta. Ela encontra-se no site da mat.puc e muitos lá chegaram ao mesmo resultado.

http://www.mail-archive.com/[email protected] ... 47977.html

[FilipeCaceres]

A resposta que foi dada no seu link é 17 ela esta errada o correto e 16 pois 7621 é primo e é maior que 467 que também é primo.

Abraço.