Pré-Vestibular ⇒ (UEM - PR) Função Quadrática Tópico resolvido

[ciany]

Boa Tarde!

Por favor, me ajudem com este exercício:

Um artesão produz lembranças que vende a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da expressão L(x)=400(15-x)(x-3). Determine, em reais, o preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior lucro mensal possível.

Obs.: Sei que a equação está fatorada e a transformei em função do 2° grau, mesmo assim ainda não sei o que represente o maior lucro mensal, seria o Xv ou o Yv? Ou uma das raízes da equação?

Confuuuusa!

Muito obrigadaaa!

[SirTcgm]

R$14400, mais tarde posto a solução, pois agora tenho que sair.

[ciany]

R$14400, mais tarde posto a solução, pois agora tenho que sair.

Bom diia! Obrigada pela resposta! Vou esperar pela resolução!

[SirTcgm]

Primeiro, reduzimos a função a [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]L(x)=400(15-x)(x-3)\Rightarrow L(x)=400(15x-45-x^2+3x)=400(-x^2+18x-45)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow y=-400x^2+7200x-18000[/tex3]
Como o problema quer saber o valor máximo de [tex3]L(x)[/tex3], e sabemos que [tex3]y_v=-\frac{\Delta}{4a}[/tex3], temos que :
[tex3]\Delta=7200\times 7200 -4\times 18000\times 400=2^{10}\times3^4\times5^4-2^2\times2^4\times3^2\times5^3\times2^4\times5^2[/tex3]
[tex3]\Delta=2^{10}\times3^4\times5^4-2^{10}\times3^2\times5^5=2^{10}\times3^2\times5^4(3^2-5)=2^{10}\times3^2\times5^4\times2^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\Delta=2^{12}\times3^2\times5^4}[/tex3]
Agora substituindo:
[tex3]\Rightarrow -\frac{2^{12}\times3^2\times5^4}{2^2\times(-2^4\times5^2)}=\frac{2^{12}\times3^2\times5^4}{2^6\times5^2}=2^6\times3^2\times5^2=\boxed{\boxed{14400}}[/tex3]
Obs.: Mesmo com uma calculadora ao meu lado, eu deixei os grandes números como o produto de seus fatores, para simplificar a resolução.

TM

[ciany]

Primeiro, reduzimos a função a [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]L(x)=400(15-x)(x-3)\Rightarrow L(x)=400(15x-45-x^2+3x)=400(-x^2+18x-45)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow y=-400x^2+7200x-18000[/tex3]
Como o problema quer saber o valor máximo de [tex3]L(x)[/tex3], e sabemos que [tex3]y_v=-\frac{\Delta}{4a}[/tex3], temos que :
[tex3]\Delta=7200\times 7200 -4\times 18000\times 400=2^{10}\times3^4\times5^4-2^2\times2^4\times3^2\times5^3\times2^4\times5^2[/tex3]
[tex3]\Delta=2^{10}\times3^4\times5^4-2^{10}\times3^2\times5^5=2^{10}\times3^2\times5^4(3^2-5)=2^{10}\times3^2\times5^4\times2^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\Delta=2^{12}\times3^2\times5^4}[/tex3]
Agora substituindo:
[tex3]\Rightarrow -\frac{2^{12}\times3^2\times5^4}{2^2\times(-2^4\times5^2)}=\frac{2^{12}\times3^2\times5^4}{2^6\times5^2}=2^6\times3^2\times5^2=\boxed{\boxed{14400}}[/tex3]
Obs.: Mesmo com uma calculadora ao meu lado, eu deixei os grandes números como o produto de seus fatores, para simplificar a resolução.

TM

Muitíssimo obrigada!

[SirTcgm]

Estava vendo minhas mensagens antigas e achei essa aqui, onde ,após um longo tempo, percebi que cometi um erro.
Na verdade, não é um erro, mas a resposta ficou incompleta.
O que o problema quer é o valor de CADA lembrança para obter o maior lucro possível.
Ou seja, é preciso achar o valor de [tex3]x[/tex3] quando [tex3]y[/tex3] for o [tex3]y_v[/tex3]
O [tex3]y_v[/tex3] já foi calculado anteriormente e vale [tex3]14400[/tex3]
o valor de x é [tex3]\, -400x^2+7200x-18000=14400\Right x^2-18x+81=0[/tex3]
Resolvendo, achamos [tex3]\boxed{x=9}[/tex3]

Desculpe-me pelo erro...

TM