Ensino Superior ⇒ Hiperbole Tópico resolvido

[silvaniamarquesx]

Dê a equação da hipérbole cujos focos são os pontos (0, 0) e (6, 0) e cuja excentricidade vale 3/2?

[Cardoso1979]

Observe

Primeiro modo:

Primeiramente, vou passar alguns dados importantes:

• Os focos F1( 0 , 0 ) e F2( 6 , 0 ) estão sobre o eixo das abscissas, isso significa dizer que o eixo real é paralelo ao das abscissas, então a equação da hipérbole pode ser apresentada sob a forma:

[ ( x - xo )^2/a² ] - [ ( y - yo )^2/b² ] = 1

• Mais una vez , como os focos estão sobre o eixo Ox, então,

xo = 6/2 → xo = 3 e yo= 0.

Obs. O centro é da forma : C( xo , 0 ).

Logo , o centro da hipérbole é: C( 3 , 0 ).

Dito isso, temos

2c = F1F2 → 2c = 6 → c = 3 ( medida da semi-distância focal )

Como a excentricidade vale e = 3/2, e > 1 , segue que

c/a = 3/2 → 3/a = 3/2 → a = 2 ( medida do semi-eixo real ).

A medida b do semi-eixo imaginário é obtida por :

c² = a² + b² → 3² = 2² + b² [tex3]\therefore [/tex3] b² = 5 → b = √5.

Logo,

[ ( x - 3 )^2/4 ] - [ ( y - 0 )^2/5 ] = 1

Ou
[ ( x - 3 )^2/4 ] - ( y²/5 ) = 1




Segundo modo:

Considerando um ponto genérico P( x , y ) , temos que

| PF1 - PF2 | = 2a

| √[ ( x - 0 )^2 + ( y - 0 )^2 ] - √[ ( x - 6 )^2 + ( y - 0 )^2 ] | = 2.2

√[ x² + y² ] - √[ ( x - 6 )^2 + y² ] = ± 4

√[ x² + y² ] = ± 4 + √[ ( x - 6 )^2 + y² ]

Eleve ambos os membros ao quadrado, resulta;

3x - 13 = ± 2√[ ( x - 6 )^2 + y² ]

Eleve mais uma vez ambos os membros ao quadrado, obtemos

5x² - 30x - 4y² = - 25 → adicione 45 aos dois membros da igualdade.

5x² - 30x + 45 - 4y² = - 25 + 45

5.( x² - 6x + 9 ) - 4y² = 20

5.( x - 3 )^2 - 4y² = 20

[tex3]\frac{( x - 3 )^2}{ \frac{ 20 }{ 5 }} \ - \ \frac{ y^2}{ \frac{ 20 }{ 4 }} = \frac{20}{20}[/tex3]

Portanto, a hipérbole procurada é:

[tex3]\frac{( x - 3 )^2}{ 4 } \ - \ \frac{ y^2}{ 5 } = 1 [/tex3]


Graficamente:

MSP629127h1850i7d094d000002ee4f96g275hh9g4.gif (4.19 KiB) Exibido 314 vezes

Excelente estudo!