Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Retas Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Dadas as retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] tais que [tex3]r = \{(1,2t,-1-2t);\,t\in \mathbb{R}\}[/tex3] e [tex3]s:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 2}{4}[/tex3] com [tex3]z = 1.[/tex3]
O cosseno do menor ângulo formado por [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] é:

a) [tex3]\sqrt{2}/10[/tex3]

b) [tex3]2\sqrt{2}/5[/tex3]

c) [tex3]\sqrt{2}/2[/tex3]

d) [tex3]\sqrt{2}/4[/tex3]

e) [tex3]\sqrt{2}/5[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá José,

Vou resolver esta questão utilizando produto escalar, que é:

[tex3]A\odot B=|A|\cdot |B|\cdot \cos(\theta)[/tex3]

Onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre os vetores.

Portanto, primeiramente deveos achar o vetor direção das duas retas. Para isso, vamos passar as duas retas para a forma paramétrica:

primeira reta [tex3]\left\{x=1\\y=2t\\z=1-2t\right.[/tex3]

Portanto, o vetor direção desta reta é [tex3]A=(0, 2, -2)[/tex3]. E teremos [tex3]|A|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt 2[/tex3]

Na segunda reta, vamos chamar o [tex3]\frac{y+2}{4}=s[/tex3], portanto:

[tex3]y=4s-2[/tex3]

E como [tex3]\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{4}[/tex3], temos

[tex3]\frac{x-2}{3}=s[/tex3]

[tex3]x=3s+2[/tex3]

Então a segunda reta tem equação paramétrica:

[tex3]\left\{x=2+3s\\y=-2+4s\\z=1\right.[/tex3]

Que tem vetor direção igual a [tex3]B=(3, 4, 0)[/tex3]. E seu módulo será [tex3]|B|=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex3]

Fazendo agora o produto escalar entre A e B:

[tex3](0,2,-2)\cdot(3,4,0)=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]

[tex3]8=2\sqrt 2\cdot 5\cdot\cos\theta[/tex3]

[tex3]\cos\theta=\frac{4}{5\sqrt 2}[/tex3] que, racionalizando, fica:

[tex3]\cos\theta=\frac{2\sqrt 2}{5}[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
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