Ensino Superior ⇒ Combinação Linear Tópico resolvido

[poti]

[tex3]\vec{u} = (1, -1, 3)[/tex3] pode ser escrito como combinação linear de [tex3]\vec{v} = (-1, 1, 0), \vec{w} = (2, 3, 1/3) ?[/tex3]

Resposta:

Resposta

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Não.

Eu sei que dá pra ver direto porque não são proporcionais, mas como eu faço o sistema pra sair isso por Cramer?

[andrecaldas]

Como v e w são independentes, v, w e u serão independentes se, e somente se, o determinante da matriz com linhas v, w e u for diferente de 0.

Intuitivamente, o determinante de uma matriz 3 x 3 é o "volume com sinal" do paralelogramo dado pelos três vetores. O volume é 0 se, e somente se, os vetores não forem independentes.

Por Cramer você considera o sistema dado por
[tex3]x u + y v + z w = 0[/tex3].
Esse é um sistema linear de 3 equações em três variáveis. (quais equações?)
Uma solução é para x = y = z = 0. Se tiver outras soluções (determinante = 0), os vetores são linearmente depententes... ou seja, u é combinação linear de v e w.