IME / ITA ⇒ (CN - 1993) Aritmética Tópico resolvido

[lecko]

Determinar o resto de 13x12x11x10....2x1 por 169.

OBS: o sinal de "X" representa vezes.

[FilipeCaceres]

Acredito que esteja faltando dados, mas com os dados que você nos deu, temos
[tex3]\frac{1.2.3....12.13}{13.13}=\frac{1.2.3...11.12}{13}[/tex3]

Observe que nao teremos um número inteiro nesta divisão pois o divisor(13) é um número primo.

Dê uma olhada novamente na questão.
Abraço.

[lecko]

Bom vou dar uma olhada na apostila que tenho, mas creio que não esteja errado.
O que ele quer é o resto do número 13.12.11.....3.2.1 por 169.
Ex: 5 dividido por 3 dá quociente 1 e resto 2.
O que ele quer é o resto.

[FilipeCaceres]

Eu havia lido errado.

Eu encontrei esta questão.
Pelo que consta (CN-1995)o enunciado completo é:
Sabendo-se que o resultado de [tex3]12.11.10....3.2.1+14[/tex3] é divisível por 13, qual o resto da divisão do número [tex3]13.12.11...3.2.1[/tex3] por 169?

Solução:
Sabendo que [tex3]12.11.10....3.2.1+14=0\, mod(13)[/tex3] e o resto de 14 por 13 é 1, temos que o resto de [tex3]12.11.10....3.2.1=12\, mod(13)[/tex3] , pois [tex3]12+1=13=0 \,mod(13)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]12.11.10....3.2.1=13q+12[/tex3]

Multiplicando ambos membros por 13,temos
[tex3]13.12.11.10....3.2.1=169q+156[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{Resto=156}[/tex3]

Abraço.

[Abelardo]

[tex3]12! + 14[/tex3] é divisível por 13. Podemos também dizer que [tex3]12! + (13 + 1)[/tex3] é divisível por 13 ... veja que 14 dividido por 13 deixa resto um, teremos que [tex3]\frac{12! + 1}{13}[/tex3] é múltiplo de 13 ainda. [tex3]\frac{12! + 1}{13}[/tex3] é igual a [tex3]\frac{12!}{13} + \frac{1}{13}[/tex3] Logo para [tex3]12! + 1[/tex3] ser divisível por 13, [tex3]12![/tex3] dividido por 13 deve deixar 12 como resto.



Podemos também fazer pelo método bruto, fatore os ''fatores'' do fatorial 12! (kkkkk) --> [tex3](2^2 \cdot3) \cdot(11) \cdot(2 \cdot5) \cdot(3^2) \cdot(2^3) \cdot(7) \cdot(2\cdot3) \cdot(5) \cdot(2^2) \cdot(3) \cdot(2)[/tex3] [tex3]\to[/tex3]

[tex3]2^{10}\cdot 3^5 \cdot 5^2\cdot 7 \cdot 11[/tex3] utilizando a força bruta, determinei o resto de cada fator dividido por 13, depois multipliquei, depois dividi ... resto 12 também.



Como sei que questões do colégio Naval são o cheias de pegadinhas, qual é o meu erro?

[FilipeCaceres]

Pelo que percebi você fez certo, mas falta continuar, observe que vc calculou [tex3]12!=13q+12[/tex3] mas o que se quer é [tex3]169q[/tex3],ou seja, vc deve mulitiplicar tudo 13, e desta forma encontrará o resto 156.

Abraço.

[Abelardo]

[tex3]\frac{13 \cdot12 \cdot11 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot2 \cdot1}{13 \cdot 13}[/tex3] é mesmo que [tex3]\frac{12 \cdot11 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot2 \cdot1}{13}[/tex3]?



''qual o resto da divisão do número [tex3]13.12.11...3.2.1[/tex3] por 169?''

[FilipeCaceres]

Observe
[tex3]12.11...3.2.1=13q+12[/tex3]
[tex3]13.12.11...3.2.1=169q+156[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]k.12.11...3.2.1=13.kq+12.k[/tex3]

São iguais, a única diferença é que mulitplicamos por um fator, no caso da questão o que se queria era para [tex3]k=13[/tex3]

Abraço.

[Abelardo]

Agora entendi filipecaceres, é isso que chamam de algorítmo de divisão euclidiana? ...

[FilipeCaceres]

Se você esta falando sobre isso [tex3]P(x)=D(x).Q(x)+R(x)[/tex3] , então é sim.

Abraço.