Ensino Superior ⇒ ANÉIS DE POLINÔMIO

[borges]

Seja R um anel comutativo com unidade. Se I é um ideal primo de R, prove que I[x] é um ideal primo de R[x].

[andrecaldas]

Vou assumir que você já sabe que [tex3]I[x][/tex3] é um ideal de [tex3]R[x][/tex3], que é a parte fácil.

Tome [tex3]p(x), q(x) \in R[x][/tex3] tais que [tex3]p(x)q(x) \in I[x][/tex3].
Vamos escrever [tex3]p(x) = p_0 x^n + p_1 x^{n-1} + \ldots + p_n[/tex3] e [tex3]q(x) = q_0 x^m + q_1 x^{m-1} + \ldots + q_n[/tex3].
Assumindo que nenhum dos dois está em [tex3]I[x][/tex3], tome [tex3]a,b \in \mathbb{N}[/tex3] os menores naturais tais que [tex3]p_a,q_b \not \in I[/tex3].
Agora considere os polinônios
[tex3]P(x) = p_n x^{n} + p_{1} x^{n-1} + \ldots + p_{a-1} \in I[x][/tex3]
e
[tex3]Q(x) = q_m x^{m} + p_{1} x^{m-1} + \ldots + q_{b-1} \in I[x][/tex3].

Note que [tex3](p(x) - P(x)) (q(x) - Q(x)) \in I[x][/tex3]. (por quê?)
Ou seja,
[tex3](p_a x^{n-a} + \ldots + p_0) (q_b x^{n-b} + \ldots + q_0) \in I[x][/tex3]. Mas isso em particular, significa que [tex3]p_a q_b \in I[/tex3].
Como I é primo, isso significa que [tex3]p_a[/tex3] ou [tex3]q_a[/tex3] estão em I, contradizendo a forma como foram escolhidos.
Isso mostra que [tex3]I[x][/tex3] é primo.

[andrecaldas]

Agora considere os polinônios
[tex3]P(x) = p_n x^{n} + p_{1} x^{n-1} + \ldots + p_{a-1} \in I[x][/tex3]
e
[tex3]Q(x) = q_m x^{m} + p_{1} x^{m-1} + \ldots + q_{b-1} \in I[x][/tex3].

Oops... o correto é:
[tex3]P(x) = p_0 x^{n} + p_{1} x^{n-1} + \ldots + p_{a-1} \in I[x][/tex3]
e
[tex3]Q(x) = q_0 x^{m} + p_{1} x^{m-1} + \ldots + q_{b-1} \in I[x][/tex3].

Assim você garante que ambos estão em [tex3]I[x][/tex3]. Pode ser que esses polinômios sejam iguais a 0, quando a ou b forem 0.