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Abelardo Offline: Mensagens: 31; Registrado em: 03 Mar 2011, 00:50; Agradeceram: 1 vez

Mai 2011 06 14:09

Re: OBM - Teoria dos números

Mensagempor Abelardo » 06 Mai 2011, 14:09

Mensagem por Abelardo » 06 Mai 2011, 14:09

Muito obrigado pela colaboração de todos. Tentarei, filipecaceres, demonstrar aquela identidade inicial, se não conseguir pedirei sua ajuda em outro post. Analisei a questão no Wolfram e está de acordo com o que o amigo ''lftm'' disse.

Abelardo

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(OBM - 2005) Teoria dos Números

Últ. msg por triplebig « 06 Out 2007, 21:59
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por aristotélico » 06 Out 2007, 19:50 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

aristotélico

Prove que o número [tex3]1^{2005} + 2^{2005} + 3^{2005} + ... + 2005^{2005}[/tex3] é múltiplo de [tex3]1 + 2 + 3 + ... + 2005[/tex3] .

Últ. msg

triplebig

Ola aristotélico,

A resolução desta questão precisa de um conhecimento de módulos.

Vou falar que [tex3]S=1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+4^{2005}+...+1002^{2005}+1003^{2005}+1004^{2005}+...+2005^{2005}[/tex3]

[tex3]1+2+3+4+5+6....+2005=\frac{(1+2005)(2005)}{2}=(1003)(2005)[/tex3]...
aristotélico2Alexandre_SC1triplebig1: 3 Resp.; 2437 Exibições; Últ. msg por triplebig
06 Out 2007, 21:59

(OBM - 2007) Teoria dos Números

Últ. msg por theblackmamba « 17 Dez 2011, 23:12
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Auto Excluído (ID:276) » 05 Nov 2007, 21:26 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:276)

Mostre que existe um número inteiro [tex3]a[/tex3] tal que [tex3]\frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3] tem pelo menos 2007 fatores primos distintos.

Últ. msg

theblackmamba

Solução da banca:

[tex3]\frac{(a^2)^{29} - 1}{a - 1} = \frac{a^{29} + 1}{a + 1} \ \cdot \ \frac{a^{29} - 1}{a - 1}[/tex3]

Sabemos que: [tex3]a^{29} + 1 = (a + 1)(a^{28} - a^{27} + a^{26} - ... - a + 1)[/tex3] e [tex3]a^{29} - 1 = (a - 1)(a^{28} + a^{27} + ... + a + 1)[/tex3]...
theblackmamba1Auto Excluído (ID:276)1: 1 Resp.; 1687 Exibições; Últ. msg por theblackmamba
17 Dez 2011, 23:12

(OBM - 2004) Teoria dos Números

Últ. msg por triplebig « 22 Nov 2007, 14:39
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 2
por rean » 22 Nov 2007, 13:09 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

rean

Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que [tex3]1,[/tex3] assim por exemplo [tex3]91[/tex3] é composto podemos escrevê-lo [tex3]91=7\times 13[/tex3].
Mostre que o número [tex3]2^{(2^{2004}+2)}+1[/tex3] é composto.

Últ. msg

triplebig

[tex3]2^{2004}[/tex3] Vai dar um número divisível por 4 que termina em 6. Adicionando 2, vai dar um número que termina em 8 que não é divisível por 4.

Ai 2 elevado a um número que é par mas não divisível por 4 termina em 4.

Esse numero somado com...
John1rean1triplebig1: 2 Resp.; 2071 Exibições; Últ. msg por triplebig
22 Nov 2007, 14:39

(OBM - 2003) Teoria dos Números

Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699) « 23 Out 2021, 12:37
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por jade » 18 Out 2011, 16:24 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

jade

Quantas vezes o algarismo [tex3]9[/tex3] aparece na operacão [tex3]10^{100}-2003[/tex3] ?

Últ. msg

Auto Excluído (ID: 23699)

Começando do mais fácil
10^4 = 10000
10^4 - 2003 = 7997
10^5 - 2003 = 97997
10^6 - 2003 = 997997

Então seja 10^k
Quando k = 4, temos 2 numeros 9
Quando k = 5, temos 3 números 9
Quando k = 6, temos 4 números 9
Então, pela similaridade da operação,...
jade1Auto Excluído (ID: 23699)1: 1 Resp.; 989 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID: 23699)
23 Out 2021, 12:37

(OBM-2006)Teoria dos números

Últ. msg por Cássio « 12 Mai 2012, 23:23
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 4
por thiagobersch » 04 Mai 2012, 02:47 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

thiagobersch

Mostre que se [tex3]19|3x+7y[/tex3] então [tex3]19|43x+75y[/tex3].

Últ. msg

Cássio

Olá thiagobersch!

[tex3]\begin{cases}19\ | \ 3x+7y\\ 19 \ | \ 19(x+y) , \ \forall \ x,y\in\mathbb{Z}\end{cases} \\ \\ \Longleftrightarrow 19 \ | \ 19(x+y)-(3x+7y)=4(4x+3y)\\ \Longleftrightarrow 19 \ | \ 4(4x+3y), \ \text{como}\ mdc(9,4)=1\Longrightarrow 19 \ | \ 4x+3y\\ \Longleftrightarrow 19\ | \ (4x+3y)[/tex3]...
thiagobersch3Cássio2: 4 Resp.; 1903 Exibições; Últ. msg por Cássio
12 Mai 2012, 23:23

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