Ensino Superior ⇒ ISOMORFISMO - POLINOMIOS

[borges]

Prove que [\frac{Z_3[x]}{<x^2+1>}\] é isomorfo a Z_3=\left\{ a+bi/a,b\in Z_3\right\}

[andrecaldas]

Colega, faz um post mais bonitinho... com latex funcionando...

[FilipeCaceres]

Acho que é isso que ele queria informar
Prove que [tex3]\frac{Z_3[x]}{x^2+1}[/tex3] é isomorfo a [tex3]Z_3[i]=\left\{ a+bi/a,b\in Z_3\right\}[/tex3]

[andrecaldas]

Seja [tex3]f: Z_3[x] \rightarrow Z_3[i][/tex3] a aplicação que leva um polinômio [tex3]p[/tex3] em [tex3]p(i)[/tex3]. Ou seja, f é dada por [tex3]f(p) = p(i)[/tex3].

Essa aplicação é evidentemente sobrejetiva. Portanto,
[tex3]Z_3[x] / ker(f)[/tex3] é isomorfo a [tex3]Z_3[i][/tex3].

Só precisamos saber qual é o kernel de f. Mas o kernel de f é formado exatamente pelos polinômios que tem "i" como raiz. Mas todo polinômio em [tex3]Z_3[/tex3] que tem "i" como raiz, também tem "-i" como raiz. (justifique -- não é trivial)

Sendo assim, os polinômios pertencentes ao kernel de f possuem a forma [tex3](x+i)(x-i)p(x) = (x^2 + 1)p(x)[/tex3]. Ou seja, o kernel de f é gerado pelo polinômio [tex3]x^2+1[/tex3], concluindo a demonstração.

[borges]

SIM, FOI ISSO QUE QUIZ DIGITAR MAS ACHO QUE NÃO CONSEGUI DIGITAR CORRETAMENTE, DEVIDO NÃO CONSEGUIR DIGITAR EM LATEX DIREITO. MUITO OBRIGADO PELA AJUDA. VALEU MESMO. E DESCULPE O TRANSTORNO DE TER DIGITADO DE FORMA DESORGANIZADA.

[andrecaldas]

Não há de quê!

Não precisa se desculpar pelo latex. Mas acho bacana um esforço pra fazer "bonitinho" pra que todos possam aproveitar melhor. O botão "prever" é uma mão na roda. Aqui um tutorial pra uso do latex no fórum:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php