Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta - Prova por indução e direta

[Carina]

Olá pessoal, nuca precisei provar teoremas só resolver exercícios mas agora que comecei discreta não tô entendendo, alguém pode me ajudar?

Dê uma prova direta e por indução para:

Equação Tutorial.png (4.06 KiB) Exibido 2802 vezes

para x [tex3]\neq[/tex3] 1;

[FilipeCaceres]

Por acaso não seria [tex3]\frac{a-a.r^{n+1}}{1-r}[/tex3]

Vou fazer para forma direta:
Observe que esta progressão é uma PG, assim temos
[tex3]a_1=a[/tex3]
[tex3]q=r[/tex3]
[tex3]num.\,termos=n+1[/tex3] ,pois vai de 0 até n

Assim temos,
[tex3]S_n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}\,para\,r\neq 1[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{S_n=\frac{a-a.r^{n+1}}{1-r}\,para\,r\neq 1}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, Carina e Filipe.

Forma direta:

[tex3]S_n = \sum_{i=0}^{n}ar^i= a + ai + ai^2 + ... + ai^{n-1} + ai^n[/tex3]

[tex3]S_n \cdot i = ai + ai^2 + ai^3 + ... + ai^{n+1}[/tex3]

[tex3]S_n \cdot i - S_n = ai^{n+1} - a \Rightarrow S_n(i-1) = a(i^{n+1} - 1) \Rightarrow S_n = \frac{a(i^{n+1} - 1)}{i-1}[/tex3] [tex3], \forall i \neq 1[/tex3]


A forma indutiva só nos trás a prova para subconjuntos dos números naturais!


Admitimos que a sentença seja válida para [tex3]i \neq 1[/tex3], [tex3]i \in \mathbb{N}[/tex3]

[tex3]n=1[/tex3] :

[tex3]S_1 = \frac{a(i^2 - 1)}{i-1} = a + ai[/tex3] [tex3]OK[/tex3]

Agora, se a sentença aberta for válida para algum [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] , temos de provar que ela é válida para [tex3]n+1[/tex3] :

para n :

[tex3]S_n = \frac{a(i^{n+1} - 1)}{i-1}[/tex3]

numa prova rigorosa teriamos de definir por recorrência que o termo de ordem n+2 é [tex3]ai^{n+1}[/tex3], mas subentendendo-se isso:

[tex3]S_{n+1} = S_n + ai^{n+1} = \frac{a(i^{n+1} - 1)}{i-1} + iq^{n+1} = \frac{a(i^{n+1} - 1) + (i-1)ai^{n+1}}{i-1} =[/tex3]

[tex3]\frac{ai^{n+1} - ai^{n+1} - a + ai^{n+2}}{i-1} = \frac{ai^{n+2} - a}{i-1} = \frac{a(i^{n+2} - 1)}{i-1}[/tex3] [tex3]OK[/tex3]

Logo, ela é válida para todo [tex3]n \in \mathbb{N} , i \neq 1[/tex3]


Sugiro que você leia esta apostilinha do Abramo Hefez sobre Indução matemática, que é usada nos cursos de iniciação científica jr da OBMEP :

http://www.obmep.org.br/export/sites/de ... nducao.pdf

Valeu. Bom final de semana a todos.