Pré-Vestibular ⇒ (E. F. E. Itajubá) Polígonos Regulares Tópico resolvido

[jessicamukai]

Ache dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.
a)quadrado e dodecágono.
b) pentágono e decágono.
c) triângulo e heptágono.
d) eneágono e dodecágono.
e) octógono e pentagono.

[poti]

Vamos começar pela letra a).

Para o quadrado sabemos que seus ângulos valem [tex3]90^\circ[/tex3].
Para o dodecágono usamos a fórmula: [tex3]\frac{(n-2). 180^\circ}{n} = \frac{(10). 180^\circ}{12} = 150^\circ[/tex3]

Verificamos que a razão entre os ângulos vale:
[tex3]\frac{90}{150} = \frac{3}{5}[/tex3]

Verificamos que a razão entre os lados vale:
[tex3]\frac{4}{12} = \frac{1}{3}[/tex3]

Supondo que a questão não esteja furada, a resposta é a letra a).

[FilipeCaceres]

Vou postar uma outra solução,supondo que fosse uma questão dissertativa,ou seja, que não tivesse as alternativas.

Seja [tex3]n_1\,e\,n_2[/tex3] os lados dos polígonos, do enunciado tiramos que:
[tex3]\frac{\frac{(n_1-2).180}{n_1}}{\frac{(n_2-2).180}{n_2}}=\frac{3}{5}[/tex3]

[tex3]\frac{n_1}{n_2}=\frac{1}{3}\rightarrow n_2=3n_1[/tex3]

Logo,
[tex3]\frac{n_2.(n_1-2).\cancel{180}}{n_1.(n_2-2).\cancel{180}}=\frac{3}{5}[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{3}.(n_1-2)}{(n_2-2)}=\frac{\cancel{3}}{5}[/tex3]

[tex3]5.(n_1-2)=1.(n_2-2)=1.(3n_1-2)[/tex3]

[tex3]5n_1-10=3n_1-2[/tex3]

[tex3]2n_1=8[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{n_1=4}[/tex3], que é um quadrado.

[tex3]n_2=3.n_1=3.4[/tex3]
[tex3]\boxed{n_2=12}[/tex3], que é um dodecágono.

Abraço.

[jessicamukai]

Muito obrigada