IME / ITA ⇒ (IME-2001) Desigualdade das Médias Tópico resolvido

[poti]

Sejam [tex3]x,\,y,\,z[/tex3] números reais positivos. Prove que:

[tex3]\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}[/tex3]

Resposta

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Eu sei fazer para dois termos, onde você desenvolve [tex3](x - y)^2 > 0[/tex3] e então soma [tex3]4xy[/tex3] do outro lado.
Como faço pra esse?

[FilipeCaceres]

Amanha eu posto a solução, isso se ninguém postar antes

Abraço.

[FilipeCaceres]

Como Prometido!
Sabe-se que:
[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)[/tex3]
[tex3]\boxed{a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot (a^2+b+2+c^2-ab-ac-bc)}[/tex3]

Inicialmente vamos mostrar que,
[tex3](a+b+c)\cdot (a^2+b+2+c^2-ab-ac-bc)\geq 0[/tex3]

De fato,
[tex3](a+b+c)\cdot (a^2+b+2+c^2-ab-ac-bc)[/tex3]

[tex3]=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)[/tex3]

[tex3]=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)[/tex3]

[tex3]=\frac{1}{2}[(a_b)^2+(a_c)^2+(b-c)^2]\geq 0[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot (a^2+b+2+c^2-ab-ac-bc)\geq 0[/tex3]

[tex3]a^3+b^3+c^3\geq 3abc[/tex3]

[tex3]\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq abc[/tex3]

Fazendo [tex3]a^3=x[/tex3],[tex3]b^3=y[/tex3],[tex3]c^3=z[/tex3] temos:
[tex3]\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{y}\cdot \sqrt[3]{z}[/tex3]

Então,
[tex3]\boxed{\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}}[/tex3]

Observe que a igualdade ocorre apenas quando [tex3]x=y=z[/tex3].

Abraço.

[poti]

Meu começo ficou idêntico, mas não consegui agrupar do jeito que você fez. Valeu!

[Tassandro]

Solução alternativa
Sabemos que [tex3]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex3], com a igualdade ocorrendo [tex3]\iff a=b=c[/tex3]. Podemos demonstrar esse fato usando que [tex3](a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq0,\forall~x,y,z\in\mathbb R[/tex3]
Assim, multiplicando os dois lados por [tex3](a+b+c)[/tex3], vem que
[tex3](a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(ab+ac+bc)\implies\\
a^3+b^3+c^3+ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2\geq3abc+ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c\\
\therefore\boxed{a^3+b^3+c^3\geq3abc}[/tex3]
E agora acabou! Fazendo [tex3]x=a^3,y=b^3,z=c^3[/tex3], é fato que
[tex3]\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz}\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]