Ensino Superior ⇒ (Trans-USP-2011) Limite (Difícil) Tópico resolvido

[poti]

[tex3]\lim_{x \to +\infty} (\frac{x + 4}{x + 2})^x[/tex3]

[FilipeCaceres]

Dica:
[tex3]\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/tex3]

[tex3]\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac{b}{x}\right)^x[/tex3] ,onde b é um número real.

Seja [tex3]\frac{x}{b}=t[/tex3],então:[tex3]\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac{b}{x}\right)^x =\left(\lim_{t\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right)^b=e^b[/tex3]

Abraço.

[poti]

Consegui por L'Hospital.


[tex3]\lim_{x \to +\infty} (\frac{x + 4}{x + 2})^x = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{2}{x+2})^x = \lim_{x \to +\infty} e^{x.ln(1 + \frac{2}{x+2})}[/tex3]

Basta analisar o limite do expoente agora:

[tex3]\lim_{x \to +\infty} [x.ln(1 + \frac{2}{x+2})] = \infty.0[/tex3]

Essa indeterminação não é boa de se trabalhar, vou passar o [tex3]x[/tex3] para o divisor:

[tex3]\lim_{x \to +\infty} [\frac{ln(1 + \frac{2}{x+2})}{\frac{1}{x}}][/tex3]

Agora com a indeterminação [tex3]\frac{0}{0}[/tex3], derivamos a parte de cima e a parte de baixo pela primeira regra de L'Hospital:

[tex3]\frac{\frac{1}{1+\frac{2}{x+2}} . \frac{-2}{(x+2)^2}}{\frac{-1}{x^2}}[/tex3]

Passando o [tex3]x[/tex3] de volta para o denominador e revertendo [tex3]1+\frac{2}{x+2} = \frac{x+4}{x+2}[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{\frac{x+4}{x+2}}.\frac{2x^2}{\frac{(x+2)^2}{1}} = \frac{2x^2}{(x+4).(x+2)} = \frac{2x^2}{x^2 + 6x + 8}[/tex3]

Voltando ao limite:

[tex3]\lim_{x \to +\infty} [\frac{ln(1 + \frac{2}{x+2})}{\frac{1}{x}}] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{2x^2}{x^2 + 6x + 8}].\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} = \boxed{2}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{\lim_{x \to +\infty} (\frac{x + 4}{x + 2})^x = \lim_{x \to +\infty} e^{x.ln(1 + \frac{2}{x+2})} = e^2}[/tex3]

Obs: Complicado, mas consegui. O gabarito da fuvest dá essa resposta

[FilipeCaceres]

Eu resolveria da seguinte forma,
[tex3]\lim_{x \to +\infty} (\frac{x + 4}{x + 2})^x=\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{2}{x + 2})^x[/tex3]

Usando a dica, temos,
[tex3]\frac{x+2}{2}=t[/tex3], então: [tex3]\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{2}{x + 2})^x=\lim_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2t-2}=e^2[/tex3]

Abraço.

[poti]

Que simples, hahaha. Mas foi bom eu conseguir na raça, com certeza vai aparecer uns daqui pra frente em que a dica não vai funcionar (apesar que é bom tê-la em mente). Valeu!

[FilipeCaceres]

Não entendi o que você quis dizer com isso.

com certeza vai aparecer uns daqui pra frente em que a dica não vai funcionar

Calculo ainda não é a minha área,sou apenas um curioso , mas o pouco que sei(e não é muito, aprendi sozinho ) a regra de L'Hospital só se aprende quando se está estudando derivada, e desta forma acredito que todas as questão que envolve limite podemos calcular apenas usando as propriedades de limite, visto que derivada só se aprende depois de limite.

Abraço.

[poti]

Eu não acho que esse raciocínio é válido filipe, pois quando estudamos integrais aprendemos que nem todas funções são integráveis (daí entra o conceito de expansão em série pra poder calcular). A regra de L'Hospital deve servir para propósitos além da facilitação de limites (acredito eu).

Por exemplo, como eu calcularia [tex3]\lim_{x \to 0^{+}} x^x[/tex3] ou ainda [tex3]\lim_{x \to 0^{+}} x^2.e^{\frac{1}{x}}[/tex3] com regras básicas de limite ?

[tex3]x^x[/tex3] entra no conceito de função transcendental e sem L'Hospital eu acho que é impossível calcular. Abraço!

[lftm]

Tem jeito de calcular esses daí sem a regra de L'Hôpital, pela definição, usando várias desigualdades algébricas, mas ninguém faz isso. Com L'Hôpital dá umas duas linhas.

É claro que você pode usar L'hôpital indiretamente, sem aplicar diretamente a regra, mas usar o teorema do valor médio, usado na própria demonstração dessa regra, mas pra mim não faz muito sentido tal limitação. No final de contas, l'Hôpital é a regra mais geral para se calcular o limite e é uma das primeiras coisas que eu tento quando vejo um problema. Embora não seja tão elegante quanto outras maneiras, acho que deve-se usar o que você se sente mais confortável e deixar para procurar as formas mais elegantes pra quando tiver mais experiência com a matéria.

Mas limitar os teoremas usados em demonstrações é interessante, por exemplo a primeira prova de que a quantidade de números primos crescia proporcionalmente a [tex3]\frac{n}{\log{n}}[/tex3] (conhecido como teorema dos números primos) usava teoria dos números analítica, conceitos bem avançados de cálculo, séries e números complexos. Muitos matemáticos se perguntaram se essa proposição podia ser demonstrada usando teoremas elementares, até que Erdos e Selberg conseguiram isso, com uma prova muito mais trabalhosa, mas conseguiram. [/offtopic]

[FilipeCaceres]

Eu também concordo, L'Hostipal ajuda muuuito, mas como ele havia dito que poderia ter questão em que não daria para resolver usando apenas prorpiedade de limite, eu não concordo plenamente, não vou dizer que totalmente pois meus conhecimentos em calculo são míminos. Mas o meu racícionio foi baseado que L'Hospital se aprende depois de limite,( como todas as outras ferramentas, as que facilitam sempre vem por último. ) e desta forma acredito que sempre há uma outra forma de calcular sem usar derivadas.