IME / ITA ⇒ (IME-48) Divisão de Complexos (Trevas) Tópico resolvido

[poti]

a) Calcule e dê o resultado em forma polar:

[tex3]\frac{\sqrt[3+4i]{1 + i}}{\sqrt[6i]{1 + i\sqrt{3}}}[/tex3]

b) Sendo [tex3]a = e^{\frac{2\pi}{3}.i}[/tex3], mostrar que [tex3]1, a[/tex3] e [tex3]a^2[/tex3] são as raizes cúbicas da unidade. Provar ainda, analítica e graficamente que as seguintes relações são verdadeiras: (Já consegui essa)

[tex3]1 + a^2 - a = -2a[/tex3]
[tex3](1 + a)^2 = a[/tex3]

[FilipeCaceres]

Da onde você está desenterrando essas questões do tempo das cavernas,rsrsr

Observe,
[tex3]i+1=\sqrt{2}\cis 45[/tex3]
[tex3]1+\sqrt{3}i=2\cis 60[/tex3]
[tex3]\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6i}=-\frac{i}{6}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\frac{\sqrt[3+4i]{1 + i}}{\sqrt[6i]{1 + i\sqrt{3}}}=\frac{\(\sqrt{2}\cis 45\)^{\frac{1}{3+4i}}}{(2\cis 60)^{\frac{1}{6i}}}=\frac{\(\sqrt{2}\cis 45\)^{\frac{3-4i}{25}}}{(2\cis 60)^{-\frac{i}{6}}}=2^{\frac{3-4i}{50}}(\cis 45)^{\frac{3-4i}{25}}\cdot 2^{\frac{i}{6}}(\cis 60)^{\frac{i}{6}} =2^{\frac{3}{50}-\frac{13i}{150}}\cdot (\cis 45)^{\frac{3-4i}{25}}\cdot (\cis 60)^{\frac{i}{6}}[/tex3]

Desta forma temos,
[tex3]\boxed{\frac{\sqrt[3+4i]{1 + i}}{\sqrt[6i]{1 + i\sqrt{3}}}=2^{\frac{3}{50}-\frac{13i}{150}}\cdot (\cos 45+\sen 45)^{\frac{3-4i}{25}}\cdot (\cos 60+\sen 60)^{\frac{i}{6}}}[/tex3]

Espero que seja isso.

Abraço.

[poti]

Caramba velho, o que os examinadores pensavam nessa época ? HUSHGASUHGSAHUGUHSAG

Você é mito, sem comentários. Valeu!

[lftm]

OK, é só usar isso daqui: [tex3]e^{i\theta} = cis \theta[/tex3].

[tex3]i+1 = \sqrt{2} cis {\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} = e^{\frac{\ln{2}}{2} + i\frac{\pi}{4}}[/tex3]
[tex3]1 + \sqrt{3} i = 2 cis{\frac{\pi}{3}} = 2 e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{\ln{2} + i\frac{\pi}{3}}[/tex3]

Substituindo:
[tex3]\frac{(1+i)^{\frac{1}{3+4i}}}{(1 + \sqrt{3} i)^{\frac{1}{6i}}} = \frac{(1+i)^{\frac{3-4i}{25}}}{(1 + \sqrt{3} i)^{\frac{-i}{6}}} = exp((\frac{\ln{2}}{2} + i\frac{\pi}{4})\frac{3-4i}{25} - (\ln{2} + i\frac{\pi}{3})\frac{-i}{6})=[/tex3]
[tex3]exp(\frac{3\ln 2}{50} + \frac{\pi}{25} - \frac{\pi}{18} + i(\frac{-2 \ln 2}{25} + \frac{3 \pi}{100} + \frac{\ln 2}{6}))=[/tex3]
[tex3]exp(\frac{3\ln 2}{50} + \frac{\pi}{25} - \frac{\pi}{18})cis(\frac{-2 \ln 2}{25} + \frac{3 \pi}{100} + \frac{\ln 2}{6})[/tex3], que é a forma polar do número.

Se quiser, pode simplificar