Pré-Vestibular ⇒ (UFSCAR-SP) Geometria

[andersontricordiano]

Considere a região R, assinalada, exibida abaixo, construída no interior de um quadrado de lado 4 cm .
sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e cada raio mede 1 cm, pede-se:

Figura.jpg (11.03 KiB) Exibido 3618 vezes

a) a área da região interna ao quadrado, complementar à região R;
b) a área da região R


Detalhe as resposta são:

Resposta

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a) [tex3]8+ \pi[/tex3]
b) [tex3]8- \pi[/tex3]

Agradeço muito quem resolver!!!!!!

[aleixoreis]

Qual é a região R?
[]'s.

[aleixoreis]

Penso que resolvi.
Porém, não estou conseguindo postar duas figuras.
Sem essas figuras é bem difícil entender só com as equações.
Tenha a certeza que lamento ficar com a solução só para mim.
[]'s.

[andersontricordiano]

R é a figura dentro do quadrado

[lecko]

Vou tentar explicar sem figuras:
como podemos observar o ponto no interior do quadrado dividirá suas diagonais ao meio.
Como o lado é [tex3]4[/tex3] a diagonal [tex3](l\sqrt2)[/tex3] será [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4\sqrt2[/tex3], se traçarmos do centro do quadrado até o centro de um dos círculos veremos que esse segmento vale [tex3]2\sqrt2[/tex3] porque é a metade da diagonal, se é diagonal do quadrado ela partirá o ângulo em [tex3]45[/tex3] º e como o raio do círculo é [tex3]1[/tex3] podemos jogar na fórmula da área do triângulo : [tex3]S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sen \alpha[/tex3] para um triângulo, pois se você observar a área de dois triângulos serão a área de [tex3]1[/tex3] quadrilátero, e ao subtrairmos a área de um quadrante(a área dos círculos que ficou interna ao quadrado) teremos a área [tex3]R[/tex3].
[tex3]S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt2.1\frac{\sqrt2}{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]1[/tex3], duplicando a área teremos a área do quadrilátero [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]2[/tex3].
A área do quadrante([tex3]\frac{\pi R^2}{4}[/tex3]) [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]
Subtraindo as áreas [tex3]2-\frac{\pi}{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{8-\pi}{4}[/tex3], como são quatro as áreas é só multiplicar por [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4(\frac{8-\pi}{4})[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]8-\pi[/tex3] essa é a área [tex3]R[/tex3], para achar a complementar é só pegar a área do quadrado ([tex3]l^2[/tex3]) e subtrair a área [tex3]R[/tex3]
ou seja [tex3]4^2-(8-\pi)[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]16-8+\pi[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]8+\pi[/tex3]