Ensino Superior ⇒ RAIZES DE POLINOMIOS

[borges]

Seja f(x) [tex3]\in[/tex3] R[x]. Suponha que f(a)=0 e f'(a)=0. Mostre que (x-a)^2 divide f(x).

[poti]

Só faz sentido falar em raiz dupla se o polinômio tiver grau [tex3]n \geq 2[/tex3]. Sendo assim:

[tex3]f(a) = 0[/tex3] implica [tex3]x_{0} = 0[/tex3] (onde [tex3]x_{0}[/tex3] é o termo independente do polinômio).

Então

[tex3]f'(x) = n.x^{n-1} + (n-1).x^{n-2}......[/tex3]
[tex3]f'(a) = n.a^{n-1} + (n-1).a^{n-2}...... = 0[/tex3] implica [tex3]x_{1} = 0[/tex3] (onde [tex3]x_{1}[/tex3] é o termo de grau 1 no polinômio original).

Portanto, [tex3]a = 0[/tex3].

Qualquer polinômio com termo independente valendo 0 será divisível por [tex3]x^2[/tex3], pois:

[tex3](x - a)^2 = x^2[/tex3] c.q.d.

[poti]

Esqueça o que eu escrevi aí em cima, acabei de ver que minhas suposições foram absurdas. Eu vou provar pro caso de grau 3 e você vai perceber que é fácil generalizar depois. Considere um polinômio de grau 3:

[tex3]P(x) = (x - a)^2.(x - b)[/tex3]

Perceba que ele se anula com [tex3]x = a[/tex3] e [tex3]x = b[/tex3]. Ao derivarmos pela regra do produto, temos:

[tex3]P'(x) = 2(x - a)(x - b) + (x - a)^2[/tex3], que se anula com [tex3]x = a[/tex3], c.q.d.

De modo geral, um polinômio com uma raiz repetida [tex3]n[/tex3] vezes, terá as primeiras [tex3]n[/tex3] derivadas valendo zero.

[andrecaldas]

É um bocado artificial, mas mesmo que não tivéssemos uma noção de limite em R (se estivéssemos trabalhando com um corpo qualquer), podemos definir para [tex3]f(x) = a_0 + \ldots + a_n x^n[/tex3] sua derivada [tex3]f'(x) = a_1 + \ldots + n a_n x^{n-1}[/tex3]. A regra do produto usual continua valendo.

Note que para o caso de um corpo qualquer, não é verdade que [tex3]\mathbb{N} \subset R[/tex3]. O que temos é que [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] pode ser visto como o elemento [tex3]1+\ldots + 1 \in R[/tex3]. Note que este elemento pode ser 0, mesmo que [tex3]n \neq 0[/tex3]. Bom... pra este problema específico, isso foi uma observação meio irrelevante. Continuando...

Como [tex3]f(a) = 0[/tex3], [tex3]f(x) = (x - a) g(x)[/tex3]. Pela regra do produto,
[tex3]f'(x) = g(x) + (x-a) g'(x)[/tex3].
Por hipótese, [tex3]f'(a) = 0[/tex3]. Portanto, [tex3]g(a) = 0[/tex3]. Mas isso implica que [tex3]g(x) = (x-a)h(x)[/tex3]. Ou seja,
[tex3]f(x) = (x-a)^2 h(x)[/tex3].