Concursos Públicos ⇒ (UNIVERSA) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Uma instalação elétrica deve ser feita colocando-se certa quantidade de tomadas nas quatro paredes de um quarto retangular. Essa quantidade é determinada pela área do quarto e pelo perímetro do quarto. Suponha que a quantidade de tomadas em cada parede é igual à parte inteira da razão entre o dobro do perímetro (em [tex3]m[/tex3]) do quarto e a sua área (em [tex3]m^2[/tex3]). Se uma das paredes desse quarto mede [tex3]4\text{ m}[/tex3], para que seja necessário utilizar exatamente duas tomadas em cada parede é necessário que a outra parede tenha comprimento:

(A) Entre [tex3]4,0\text{ m}[/tex3] e [tex3]4,5\text{ m}[/tex3]
(B) Entre [tex3]4,5\text{ m}[/tex3] e [tex3]5,0\text{ m}[/tex3]
(C) Entre [tex3]0,5\text{ m}[/tex3] e [tex3]4,0\text{ m}[/tex3]
(D) Menor que [tex3]0,5\text{ m}[/tex3]
(E) Maior que [tex3]5,0\text{ m}[/tex3]

Resposta

---

(C)

[fabit]

Seja [tex3]L[/tex3] a medida da outra parede. Então [tex3]2(L+4)[/tex3] é o perímetro e [tex3]4L[/tex3] é a área.

Deste modo, pode-se escrever...

razão entre o dobro do perímetro (em [tex3]m[/tex3]) do quarto e a sua área (em [tex3]m^2[/tex3])

Essa razão fica [tex3]\frac{4(L+4)}{4L}=\frac{L+4}{L}=1+\frac{4}{L}[/tex3].

... parte inteira da razão ...

Temos [tex3]\[1+\frac{4}{L}\]=1+\[\frac{4}{L}\][/tex3].

... para que seja necessário utilizar exatamente duas ...

Equação [tex3]1+\[\frac{4}{L}\]=2\Rightarrow\[\frac{4}{L}\]=1[/tex3]. Isso diz que [tex3]\frac{4}{L}[/tex3] está no intervalo [tex3]\[1;2\)[/tex3].
Logo [tex3]1\leq\frac{4}{L}<2\Rightarrow\frac{1}{1}\geq\frac{L}{4}>\frac{1}{2}\Rightarrow4\geq L>2[/tex3].
Ou seja, [tex3]2<L\leq4[/tex3].

Vejamos as opções:

... é necessário que a outra parede tenha comprimento:

(A) Entre [tex3]4,0\text{ m}[/tex3] e [tex3]4,5\text{ m}[/tex3]
(B) Entre [tex3]4,5\text{ m}[/tex3] e [tex3]5,0\text{ m}[/tex3]
(C) Entre [tex3]0,5\text{ m}[/tex3] e [tex3]4,0\text{ m}[/tex3]
(D) Menor que [tex3]0,5\text{ m}[/tex3]
(E) Maior que [tex3]5,0\text{ m}[/tex3]

Resposta

---

(C)

O intervalo obtido está contido na alternativa C.

É isso aí.