Ensino Médio ⇒ Lugares geométricos e pontos notáveis

[jlfnetto]

1)O e B são respectivamente o ortocentro e o baricentro de um triângulo cujos lados medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. A medida, em centímetros do segmento OB é igual a:

2)Considerando-se o mesmo triângulo, sabe-se que O e C são respectivamente seu ortocentro e circuncentro. Determine, em cm, a medida OC:

3)Ainda no mesmo triângulo, tem-se O e I, repectivamente, como ortocentro e incentro. Determinar, em cm, a medida do segmento OI:

[poti]

Vou fazer o primeiro pra você.

1ª Observação: O triângulo é retângulo (verifique por Pitágoras).
2ª Observação: O ortocentro de um triângulo retângulo está centrado na altura adjacente aos dois lados (verifique isso pela definição de ortocentro).
3ª Observação: O baricentro pode ser achado facilmente pela fórmula da geometria analítica:

[tex3]X_{g} = \frac{X_{a} + X_{b} + X{c}}{3}; Y_{g} = \frac{Y_{a} + Y_{b} + Y{c}}{3}[/tex3]

Já que o jeito mais fácil de trabalhar com o baricentro é por geometria analítica, vamos colocar o triângulo nos eixos de coordenadas:

DESENHO.JPG (7.04 KiB) Exibido 11046 vezes

Ele quer o quê ? A distância do ortocentro ao baricentro. O ortocentro vai estar no ponto [tex3](0, 0)[/tex3], enquanto para o baricentro precisamos calcular:

[tex3]X_{g} = \frac{0 + 0 + 8}{3}; Y_{g} = \frac{6 + 0 + 0}{3}[/tex3]

[tex3]\boxed{X_{g} = \frac{8}{3}; Y_{g} = \frac{6}{3}}[/tex3]

A distância pode ser calculada por pitágoras:

[tex3]d = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{6}{3})^2} = \boxed{\frac{10}{3}}[/tex3]

[aleixoreis]

Questão 2:

Pelo circuncentro pode-se traçar uma circunferência que passa pelos vértices do triângulo,
que é o círculo circunscrito.
O triângulo retângulo é inscrito no semicírculo e o ortocentro está coincidente com o vértice
do ângulo reto.
Assim sendo a distância do ortocentro ao circuncentro é o raio do círculo circunscrito que é igual à metade da
hipotenusa. logo OC=10/2=5 cm.
Ortocentro, circuncentro e baricentro estão em uma mesma reta. (reta de Euler)
[]'s.

[jlfnetto]

E a 3) ?

[aleixoreis]

O raio do incentro pode ser calculado: r=área/semiperímetro
S=(6x8)/2=24 e semiperimetro=(6+8+10)/2=12
r=24/12=2
Usando a figura e sabendo que o ortocentro está na origem, basta calcular a distância entre os pontos
O (0,0) e I (2,2) -> OI=[tex3]\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}[/tex3]

Penso que é isso.
[]'s.