IME / ITA ⇒ (IME - 1970) Complexos Tópico resolvido

[poti]

[tex3]A[/tex3] é número real. Entre que limites deverá estar situado [tex3]A[/tex3] para que [tex3](1 + i)[/tex3] seja raiz do polinômio

[tex3]P(x) = x^3 + mx^2 + Anx + A[/tex3] ?

Obs: [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros não-negativos.

a) [tex3]1 \leq A \leq 4[/tex3]
b) [tex3]4 \leq A \leq 2[/tex3]
c) [tex3]2 \leq A \leq 4[/tex3]
d) [tex3]0 \leq A \leq 4[/tex3]
e) [tex3]0 \leq A \leq 2[/tex3]
f) [tex3]NRA[/tex3]

[poti]

Consegui isso:

Se [tex3](1 +i)[/tex3] é raiz, [tex3](1 - i)[/tex3] também é. Vamos montar um polinômio de grau 3 para comparar:

[tex3](x - 1 - i)(x - 1 + i)(x - k) = k x^2+2 k x-2 k+x^3-2 x^2+2 x[/tex3] ([tex3]k[/tex3] é a raiz real que eu não conheço).

Agrupando:

[tex3]x^3 + (k - 2)x^2 + (2 + 2k)x - 2k[/tex3]

Comparando:

[tex3]x^3 + (k - 2)x^2 + (2 + 2k)x - 2k = x^3 + mx^2 + Anx + A[/tex3]

[tex3]m = k -2[/tex3] (I)
[tex3]An = 2 + 2k[/tex3] (II)
[tex3]A = -2k[/tex3] (III)

Condições do enunciado:
[tex3]m \geq 0[/tex3], [tex3]n \geq 0[/tex3]

Sabendo isso, tiramos de (I) que:

[tex3]k \geq 2[/tex3] (IV)

Usando a condição (IV) na equação (III), temos:

[tex3]A \leq -4[/tex3], que não está contido em nenhuma das alternativas.

Letra F

[fabit]

Não sei se errei alguma coisa, mas achei impossível do jeito que está.

Vejamos:
Se A é real e m e n também (pois são inteiros), então todos os coeficientes do polinômio dado são reais. Nessas condições, há um teorema que diz que as raízes complexas aparecem aos "pares de conjugados" (as reais não precisam de par, do contrário implicaria multiplicidade maior que 1; não é o caso).

Especificamente, se 1+i é raiz, então 1-i também é.

Logo, [tex3]x^3+mx^2+Anx+A[/tex3] tem que ser divisível pelo produto [tex3](x-(1+i))(x-(1-i))=x^2+2x+2[/tex3].

Fiz essa divisão de polinômios e encontrei quociente [tex3]x+m+2[/tex3] e resto [tex3](An+2m+2)x+(A-2m-4)[/tex3].

Para que a divisibilidade dos polinômios seja exata, esse resto tem que ser o polinômio nulo 0x+0. Logo:
[tex3]\begin{cases}An+2m+2=0\\A-2m-4=0\end{cases}[/tex3]

A segunda implica que [tex3]A=2m+4[/tex3] e como m é inteiro não negativo temos A inteiro par maior ou igual a 4.

Mas aí a primeira equação fica absurda, pois o lado esquerdo é uma soma de 2 monômios não negativos (An e 2m) com um estritamente positivo (o +2), sem chances de igualar com o lado direito.

Algo precisa ser corrigido, eu ou a questão.

[poti]

Pelos meus cálculos você errou um sinal na divisão. O resto fica:

[tex3]\begin{cases}An-2m+2=0\\A-2m-4=0\end{cases}[/tex3]

Nesse caso o exercício não é impossível, mas não vejo nada de útil saindo dessa análise. Por que minha resolução por comparação está errada ?

[FilipeCaceres]

Olá Poti,

Você cometeu um pequeno erro.

[tex3](x - 1 - i)(x - 1 + i)(x - k) = k x^2+2 k x-2 k+x^3-2 x^2+2 x[/tex3]

Na verdade o correto é

[tex3](x - 1 - i)(x - 1 + i)(x - k) = -k x^2+2 k x-2 k+x^3-2 x^2+2 x[/tex3]

Olá Fabit,

Você também cometeu um pequeno erro.

[tex3](x-(1+i))(x-(1-i))=x^2+2x+2[/tex3]

Na verdade o correto é
[tex3](x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2[/tex3]

Pelo jeito você errou na divisão também, pois fazendo com o valor correto encontramos o mesmo valor
[tex3]\begin{cases}An+2m+2=0\\A-2m-4=0\end{cases}[/tex3]

Desta forma encontramos como resposta a [tex3]\text{Letra F}[/tex3] por ser impossível termos um intervalo para A com estas raízes.

Espero que seja isso.

[poti]

Usando sua correção, alteraríamos apenas a equação (I):

[tex3]m = - k - 2[/tex3]

Mas

[tex3]m \geq 0[/tex3]

Então

[tex3]k \leq -2[/tex3]

Se colocarmos essa condição na equação (III), temos:

[tex3]\boxed{A \geq 4}[/tex3]

Continuo marcando letra f) ou faz sentido a letra b) ?

[FilipeCaceres]

Esta correto,
[tex3]\begin{cases}An+2m+2=0\,(i)\\A-2m-4=0\,(ii)\end{cases}[/tex3]

Observe que de (ii) resulta isto,
[tex3]A\geq 4[/tex3]

Mas de (i) encontramos
[tex3]A\leq -2[/tex3]

Desta forma não existe um intervalo para A com estas raízes, [tex3]\text{Letra F}[/tex3]

E quanto a alternativa B, observe que não existe um número que atenda [tex3]4 \leq A \leq 2[/tex3].

Abraço.

[poti]

Caramba, acredite ou não, mas está assim na questão original, hahahaha. Nem tinha percebido.