Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números: Algoritmo da Divisão

[aristotélico]

Determine o menor número natural cuja:

• divisão por [tex3]2[/tex3] tem resto [tex3]1;[/tex3]
  divisão por [tex3]3[/tex3] tem resto [tex3]2;[/tex3]
  divisão por [tex3]4[/tex3] tem resto [tex3]3;[/tex3]
  divisão por [tex3]5[/tex3] tem resto [tex3]4;[/tex3]
  divisão por [tex3]6[/tex3] tem resto [tex3]5;[/tex3]
  divisão por [tex3]7[/tex3] tem resto [tex3]0.[/tex3]

[danjr5]

A meu ver, esse número não existe. Uma vez que, nenhum número irá satisfazer a condição dada.

O número dividido por [tex3]2[/tex3] tem como resto [tex3]1,[/tex3] então sabemos que é um número par.

Sabendo que o resto da divisão por [tex3]7[/tex3] é zero, pode-se concluir que é um múltiplo de [tex3]7.[/tex3]

Dividido por [tex3]3,[/tex3] deixa resto [tex3]2.[/tex3]

• [tex3]3\cdot 7 + 2 = 23[/tex3]
  [tex3]3\cdot 14 + 2 = 44[/tex3] (par)
  [tex3]3\cdot 21 + 2 = 65\\
  3\cdot 35 + 2 = 107[/tex3]

Nunca um desses números será múltiplo de [tex3]7,[/tex3] pois, duas unidades está sendo adicionada.

O mesmo ocorre com o [tex3]4[/tex3] e o [tex3]5.[/tex3]
O menor número que encontrei, que passa perto, foi o [tex3]179.[/tex3] Satisfaz quase todas as condições, menos ser múltiplo de [tex3]7.[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi

O divisor deixa como resto uma unidade a menos do que o próprio. Ou seja, se o divisor é [tex3]x[/tex3] e o resto é [tex3]x-1,[/tex3] [tex3]x+1[/tex3] é divisível por [tex3]2,3,4,5,6.[/tex3]

• [tex3]x+1[/tex3] tem de ter no mínimo dois fatores dois, um cinco e outro [tex3]6.[/tex3]
  
  [tex3]x+1 = 4 . 5 . 6\Rightarrow x = 119[/tex3]

Té.

[danjr5]

Olá pedro123,
Parabéns pela sua ótima solução.

Você poderia me explicar. Não consegui entender (...)

[tex3]x+1[/tex3] é divisível por [tex3]2,3,4,5,6.[/tex3]

Desde já agradeço.

Até logo.

[Auto Excluído (ID:276)]

A divisão tinha como resto uma unidade a menos do que o divisor, ou seja, faltava ao dividendo, uma unidade para que houvesse mais um inteiro. Adicionando uma unidade ao divisor, estarei aumentando uma no resto. Já que faltava uma para que o resto virasse inteiro, tem-se que [tex3]x+1[/tex3] atende ao caso da questão.

[danjr5]

Olá pedro123,

Agora ficou claro. Muito obrigado.
Até logo.