Física I ⇒ 2ª Lei de Kepler Tópico resolvido

[poti]

Uma particula percorre com a velocidade constante [tex3]\vec{v}[/tex3], uma reta que está à distância [tex3]b[/tex3] da origem [tex3]O[/tex3]. Seja [tex3]dA[/tex3] a área varrida pelo vetor pelo vetor posição traçado de [tex3]O[/tex3] até a partícula, no intervalo de tempo [tex3]dt[/tex3]. Mostrar que [tex3]\frac{dA}{dt}[/tex3] é constante no tempo e igual a [tex3]\frac{L}{2m}[/tex3], com [tex3]L[/tex3] o momento angular da partícula em relação à origem.

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[poti]

Sabemos que o módulo do produto vetorial representa a área de um paralelogramo com os vetores projetados. Então, a área do triângulo vai ser metade e pode ser escrita assim:

[tex3]dA = \frac{1}{2} |r X v.dt| = \frac{1}{2m} |r X mv| dt = \frac{1}{2m} L .dt[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}}[/tex3], cqd.

Obs: [tex3]L[/tex3] é constante, portanto a derivada da área também vai ser constante, eis a prova.