IME / ITA ⇒ (AFA-2000) Progressão / Binômio Tópico resolvido

[poti]

Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termo termos do desenvolvimento de [tex3](1 + x)^n[/tex3] estão em PA. Se [tex3]n < 13[/tex3], então o valor de [tex3]2n + 1[/tex3] é:

a) 7
b) 13
c) 15
d) 27

[FilipeCaceres]

Um termo genérico [tex3]T_{p+1}[/tex3] do desenvolvimento de [tex3]{\left(x+y\right)}^n[/tex3] , sendo p um número natural, é dado por:
[tex3]T_{p+1}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\![/tex3]

Assim temos,
[tex3]T_5={n \choose 4}[/tex3]

[tex3]T_6={n \choose 5}[/tex3]

[tex3]T_7={n \choose 6}[/tex3]

Logo,[tex3]6\leq n<13[/tex3]

Como forma uma P.A
[tex3]2.{n \choose 5}={n \choose 4}+{n \choose 6}[/tex3]

Para [tex3]n=6[/tex3] temos,
[tex3]2.{6 \choose 5}=12[/tex3]

[tex3]{6 \choose 4}+{1 \choose 6}=16[/tex3]

Para [tex3]n=7[/tex3] temos,
[tex3]2.{7 \choose 5}=42[/tex3]

[tex3]{6 \choose 4}+{1 \choose 6}=42[/tex3]

Desta forma temos que [tex3]n=7[/tex3]

Portanto,
[tex3]2.7+1=\boxed{15}[/tex3]

Abraço.

[poti]

Eu achei uma resolução usando a regra de Pierre de Simon Fermat aos termos 6 e 7. Já ouviu falar disso ? Não achei muita coisa sobre e nem entendi.

Veja:

Aplicando a regra de Pierre de Simon Fermat:

[tex3]{n \choose 6} = \frac{n - 5}{6}{n \choose 5} = \frac{n - 5}{6}\frac{n - 4}{5}{n \choose 4}[/tex3]

[tex3]{n \choose 5} = \frac{n - 4}{5}{n \choose 4}[/tex3]

--

Pela PA:

[tex3]2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}[/tex3]

[tex3]2\frac{n - 4}{5}{n \choose 4} = {n \choose 4} + \frac{n - 5}{6}\frac{n - 4}{5}{n \choose 4}[/tex3]

[tex3]2\frac{n - 4}{5} = 1 + \frac{n - 5}{6}\frac{n - 4}{5}[/tex3]

[tex3]{-}n^2 + 21n - 98 = 0[/tex3]

[tex3]\cancel{\boxed{n = 14}}[/tex3] ([tex3]n < 13[/tex3])

[tex3]\boxed{n=7}[/tex3]

[tex3]2.7 + 1 = \boxed{15}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Usar esta esta propriedade facilita muita as contas, pois desta forma não é necessário ficar testanto os valores como eu fiz.

Abraço.

[brunoafa]

[tex3]{n \choose 6} = \frac{n - 5}{6}{n \choose 5}[/tex3]

Muito boa essa regra, nunca tinha ouvido falar.