Ensino Superior ⇒ Minha Prova Tópico resolvido

[poti]

1ª Questão (Valor 1.5): Calcule

[tex3](1) \int \frac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{e^x + e^{-x}}}\\[/tex3]
[tex3](2)\int \frac{ln x}{x^2}\\[/tex3]

2ª Questão (Valor 3.0): Calcule

[tex3](a) \int x^3(x^2 + 3)^{10}dx\\[/tex3]
[tex3](b) \int \frac{1}{senx - cosx + 1}dx\\[/tex3]
[tex3](c) \int \frac{2x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1}dx[/tex3]

3ª Questão (Valor 2.0):

(1) Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de [tex3]y = x^2[/tex3] e [tex3]y = x[/tex3], com [tex3]0 \leq x \leq 2.[/tex3]
(2) Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de [tex3]f(x) = senx[/tex3] onde [tex3]0 \leq x \leq \pi.[/tex3]

4ª Questão (Valor 2.0):

(i) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos (x,y) tais que [tex3]\sqrt{x} \leq y \leq -x + 6, \ x \geq 0.[/tex3]
(ii) Calcule o comprimento de arco do gráfico da função [tex3]f(x) = lnx, \ 1 \leq x \leq e.[/tex3]

5ª Questão (Valor 1.5): Calcule

(1) [tex3]\int e^{-2x}sen(x)dx[/tex3]
(2) [tex3]\int (lnx)^2dx[/tex3]


Eu acho que é até proibido fazer isso, mas eu vou fazer a substitutiva semana que vem e a correção chegará dias antes, então eu queria ver se errei algo no que fiz e dicas de algum jeito mais fácil pras questões. Alguém me ensina a fazer as de volume e comprimento, aquelas fórmulas não me dizem nada, não sei como usar os dados. As resoluções e explicações das questões que fiz na prova estão todas no post abaixo.

[poti]

Minhas Resoluções (do jeito que eu fiz na prova, das que eu consegui é claro):

1) (1) [tex3]\frac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{e^x + e^{-x}}} = \frac{e^x \sqrt{e^x}}{e^x \sqrt{e^x + e^{-x}}} = \frac{e^x \sqrt{e^x}}{\sqrt{e^3x + e^{x}}}[/tex3]

[tex3]e^x = u, \ du = e^x dx[/tex3]

[tex3]\int \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u^3 + u}}du = \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} = arcsen(u) = \boxed{arcsen(e^x) + k}[/tex3]

1) (2) [tex3]u = lnx, \ du = \frac{1}{x}, \ dv = \frac{1}{x^2}, \ v = -\frac{1}{x}[/tex3] (Integração por partes)

[tex3]\int \frac{lnx}{x^2} = -\frac{lnx}{x} - \int -\frac{1}{x^2} = \boxed{\frac{-lnx - 1}{x} + k}[/tex3]

2) (a) [tex3]\int x^2.x(x^2 + 3)^{10}dx[/tex3]

[tex3]u = x^2, \ du = xdx[/tex3]

[tex3]\int u(u+3)^{10}du[/tex3]

[tex3]v = u +3, \ dv = du[/tex3]

[tex3]\int (v-3)v^{10}dv[/tex3]
[tex3]\int v^{11} - 3v^{10}dv = \frac{v^{12}}{12} + \frac{3v^{11}}{11} = \boxed{\frac{(x^2+3)^{12}}{12} + \frac{3(x^2+3)^{11}}{11} + k}[/tex3]

2) (b) Só transformar [tex3]cos(x)[/tex3] e [tex3]sen(x)[/tex3] para as relações de [tex3]tg(\frac{x}{2})[/tex3], dá muito trabalho colocar as contas.
2) (c) Frações parciais para polinômios irredutíveis, sistema grande, regra da soma, etc.

3) (1) Fiz essa suposição pelo desenho, já que até o ponto (1,1) a reta está a cima, e no resto a parábola está por cima (não sei se isso é certo, alguém me clarifica?):

[tex3]A = \int_{0}^{1} x - x^2 + \int_{1}^{2} x^2 - x \to [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2}[/tex3]
[tex3]A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \boxed{1}[/tex3]

3) (2) Não consegui fazer

4) (1) Não sei fazer

4) (2) Não sei fazer

5) (1) Mesma questão que me ensinaram um dia antes: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =8&t=18506

5 (2) [tex3]u = ln(x), \ du = \frac{1}{x}dx, \ dv = ln(x).dx, \ v = xln(x) - x[/tex3]

[tex3]\int (lnx)^2dx = \int lnx . lnx.dx = (lnx)(xlnx - x) - \int ln(x) - 1 = (lnx)(xlnx - x) - \int ln(x) - \int 1 = \boxed{(lnx)(xlnx - x) - xln(x) - x - x + k}[/tex3]

[Natan]

Isso é prova de cálculo I é? nossa a prova toda se resume a integral cruzes...

[poti]

Sim, minha segunda prova de cálculo I.

[Natan]

Onde vc estuda?

[luispereira]

ja q vc ta no calculo 1 eu vo cuspi a formula do calculo de area em revoluçao

[tex3]2\pi\int[f(x)][1+({\frac{dx}{dy}})^2]^{\frac{1}{2}}dx[/tex3]

para [tex3]f(x)=senx[/tex3], temos:

[tex3]2\pi\int[senx][1+(cosx)^2]^{\frac{1}{2}}dx[/tex3]

se [tex3]tgu=cosx[/tex3] , temos [tex3]{secu}^2du=-senxdx[/tex3]

portanto: [tex3]{2\pi}\int(-(secu)^3du)[/tex3]

mas, por partes: [tex3]\int \sec^n u \, du = \frac{1}{n-1} \tan u \sec^{n-2} u + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} u \, du[/tex3]

oque nos da, ja voltando a variavel x: [tex3]\pi[-cosx[1+(cosx)^2]^{\frac{1}{2}}-ln[[1+(cosx)^2]^{\frac{1}{2}}+cosx]+C[/tex3]

Como eu disse fiz na preça e nao verifikei. Se encontrar algo errado avisa pra min arruma. Espero ter ajudado
numericamente:

[tex3]S=2\pi[2^{\frac{1}{2}}+ln(2^{\frac{1}{2}}+1)][/tex3]

[poti]

Natan, estudo na USP São Carlos.

luispereira, gostei da resolução mas eu não ia pensar isso na hora não, hehe. Valeu!

[MacoZampi]

"2) (c) Frações parciais para polinômios irredutíveis, sistema grande, regra da soma, etc."

ehaueh, ri com o sistema grande, mas vamo lah:


4-

i-) primeiro tem q fazer o gráfico, os pontos são (x,y) tais que [tex3]\sqrt{x}<y<-x+6,x>0[/tex3] (é igual eu sei, foi preguiça)

então tem q fazer o gráfico de [tex3]y_1=\sqrt{x}[/tex3] e [tex3]y_2=6-x[/tex3], e pintar a parte de baixo do gráfico [tex3]y_2[/tex3] e de cima de [tex3]y_1[/tex3]

ficando:

questao.png (8.77 KiB) Exibido 1784 vezes

tah, a fórmula pro volume da revolução eh [tex3]V=\int_{a}^b \pi f(x)^2 dx[/tex3], mas como é em torno de y:
[tex3]V = \int_{a}^b \pi f(y)^2 dy[/tex3]
então, as funções devem ser em y, logo [tex3]x_1=y^2[/tex3] e [tex3]x_2 = 6-y[/tex3]

soh que, tem um pedaço q vai girar os pontos abaixo de [tex3]y^2[/tex3] (cor amarela) e tem outro q eh abaixo de [tex3]6-y[/tex3] (cor vermelha), pra calcular quando que é uma função e quando que é outra só igualar, [tex3]x_1 = x_2[/tex3]
[tex3]y^2 = 6-y[/tex3]
[tex3]y=2[/tex3] (a outra raiz não entra nesse caso)

então vao ficar

[tex3]V=\int_{0}^2 \pi (y^2)^2 dy + \int_{2}^6 \pi (6-y)^2 dy[/tex3]

[tex3]V = \frac{416 \pi}{15}[/tex3]

ii-):

o comprimento C do arco do gráfico de uma função f(x) de a até b eh dado por

[tex3]C = \int_{a}^b\sqrt{1+[f'(t)]^2}dt[/tex3]

no caso [tex3]f(x) = lnx, f'(x) = \frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]C = \int_{1}^e\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dt[/tex3]

resolver essa integral ai n eh mto facil nao hein, fica pra alguém mais inspirado

creio q seja assim

[poti]

Gostei da sua resolução do volume, consegui entender.

Na parte do comprimento eu até tentei fazer isso (eu meio que chutei essa fórmula, mesmo sem saber se tava certo), mas essa integral aí é o cão. Eu pensei em tentar [tex3]{-}cos^2(t) = \frac{1}{x^2}[/tex3] mas na hora não saiu nada. Tipo, apesar de eu já sair com a integral de seno já de cara, pra fazer isso eu tenho que mudar os índices de integração e não sei qual é o valor do cosseno de [tex3]\frac{1}{e^2}[/tex3], então não adianta muito.

[Natan]

Olá,

a integral na verdade é bem trivial..., só da trabalho e risco de erros em conta..., realizarei primeiro a integral indefinida para só então aplicar os limites de integração.

[tex3]\int\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx=\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx[/tex3]

[tex3]\ x=\tg a \\ dx=\sec ^2ada[/tex3]

[tex3]\int \frac{\sec ^3a}{\tg a }da=\int \cossec a \cdot \sec ^2ada[/tex3]

daki em diante resta fazer [tex3]\sec ^2a=1+\tg ^2a[/tex3] e algumas simplificações bobas para se chegar em:

[tex3]\int (\cossec a +\tg a \cdot \sec a )da=ln\left(\frac{1}{\cotg a +\cossec a }\right)+\sec a [/tex3]

voltando as variáveis originais chegamos em:

[tex3]ln\left(\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right)+\sqrt{1+x^2} |_{1}^{e}[/tex3]

que por fim nos dá:

[tex3]C=ln \left( \frac{1+\sqrt2}{1+\sqrt{1+e^2}(1+e)}\right)+\sqrt{1+e^2}+1+\sqrt2[/tex3]


uma reflexão a fazer: olhando para a fórmula do volume de revolução e do comprimento de arco vemos que naturalmente a segunda é beeeeem mais complicada que a primeira devido a presença da raíz quadrada..., isso nos diz que medir o comprimento de algo é mais difícil do que calcular um volume!!! não deveria ser o contrário? alias na prática ñ é o contrário??? o que acontece então? fica ai a dúvida...