IME / ITA ⇒ (IME - 1988) Matrizes Tópico resolvido

[carlos_neves]

Sejam A, B e C matrizes 5x5, com elementos reais. Denotando-se por [tex3]A^t[/tex3] a matriz transposta de A:

a) Mostre que se [tex3]A.A^t=0[/tex3], então [tex3]A=0[/tex3].

b) Mostre que se [tex3]B.A.A^t=C.A^t[/tex3], então [tex3]B.A=C.A[/tex3].

[Metatron]

Boa noite,

O item (a) eu acho que sei resolver, vejamos:

[tex3](AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}[/tex3]

Se [tex3]B = A^{t}[/tex3] então [tex3]B_{kj} = A_{kj}^{t} = A_{jk}[/tex3], então:

[tex3](AA^{t})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}A_{jk} (I)[/tex3]

Vamos agora tomar o traço de [tex3]AA^{t}[/tex3]:

[tex3]tr(AA^{t}) = \sum_{i=1}^{n} (AA^{t})_{ii} (II)[/tex3]

Levando a expressão (I) em (II) temos:

[tex3]tr(AA^{t}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} A_{ik}A_{ik}
= \sum_{i,k=1}^{n}A_{ik}A_{ik}
= \sum_{i,k=1}^{n}A_{ik}^{2}[/tex3]

Como por hipótese [tex3]AA^{t} = 0[/tex3], temos que

[tex3]tr(AA^{t}) = \sum_{i,k=1}^{n}A_{ik}^{2} = 0[/tex3]

Ou seja, [tex3]A_{ij} = 0[/tex3], donde [tex3]A = 0[/tex3]

Quanto ao item (b), o enunciado é esse mesmo ?

[carlos_neves]

Obrigado por responder. Gostei da sua solução do item a. Até consegui resolver mais foi de uma maneira bem menos formal (rs).
O enunciado da b é esse mesmo.

[marco_sx]

Olá carlos.

Essa questão está com problema no enunciado. Conheço uma questão do IME que se parece muito com essa. Com exceção do que diz o item b ela é igual para falar a verdade. O item b dessa questão é o seguinte:

Mostre que se [tex3]B.A.A^t=C.A.A^t[/tex3], então [tex3]B.A=C.A[/tex3].

Vou resolver essa: [tex3](B-C).A.A^t=0 \Rightarrow (B-C).A.A^t.(B-C)^t=0 \Rightarrow (B-C).A.[(B-C).A]^t=0[/tex3]

Assim, pelo que foi provado no item a: [tex3](B-C).A=0 \Rightarrow B.A=C.A[/tex3]

[carlos_neves]

Obrigado marco_sx!

[jrneliodias]

Olá, pessoal.

Eu não entendi essa passagem. Alguem poderia me explica?

[tex3](B-C).A.A^t=0\,\,\Rightarrow \,\,(B-C).A.A^t.(B-C)^t=0[/tex3]

Obrigado.

[Vinícius]

Olá, pessoal.

Eu não entendi essa passagem. Alguem poderia me explica?

[tex3](B-C).A.A^t=0\,\,\Rightarrow \,\,(B-C).A.A^t.(B-C)^t=0[/tex3]

Obrigado.

[tex3](B-C)\times A\times A^t=0[/tex3]

Multiplicando ambos os membros por [tex3](B-C)^t[/tex3] à direita:

[tex3](B-C)\times A\times A^t{\color{blue}\times(B-C)^t}=0{\color{blue}\times(B-C)^t}[/tex3]

[tex3](B-C)\times A\times A^t\times(B-C)^t=0[/tex3]