Ensino Superior ⇒ Equação diferencial segunda ordem Tópico resolvido

[MacoZampi]

[tex3]t^2y'' = (y')^2, t>0[/tex3]

fiz assim, fiz assado, fiz do avesso e nada do meu resultado bater com o resultado q tah na lista, q eh um pouco diferente do resultado do wolfram em alguns aspectos

resultado da lista: [tex3]C_1^2 y= C_1t - ln|1+C_1 t| + C_2[/tex3] se [tex3]C_1 \neq 0[/tex3] ou [tex3]y=\frac{t^2}{2} + C_2[/tex3] se [tex3]C_1=0[/tex3]

o resultado do wolfram dah soh o primeiro caso

vamo lah, pra começar eh fácil
[tex3]z = y'[/tex3]
[tex3]z' = y''[/tex3]

[tex3]t^2z' = z^2[/tex3]

Bernoulli? Riccati? Devo correr para as colinas? pq eu fiz como se fosse bernoulli e ficou bonitinho, deu um resultado, ai fiz como riccati, sem problemas, mas deu um resultado diferente de antes e diferente do q era pra dar

tipo, y=t é uma solução, ai enquanto eu postava aqui pensei em chamar a solução de z=t*v(t) e substituir, ai foi indo bonitinho mas tb n deu

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Vou "pegar" o seu raciocínio, temos:

y' = z → y" = z'

Substituindo na EDO dada, fica;

t²z' = z² ( EDO de variáveis separáveis )

[tex3]t^2\frac{dz}{dt}=z^2[/tex3]

t²dz = z²dt

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{z^2}dz=\int\limits_{}^{}\frac{1}{t^2}dt[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{z}+k=-\frac{1}{t}+K[/tex3]

[tex3]\frac{1}{z}=\frac{1}{t}+C_{1}[/tex3] ( guarde esse resultado para voltarmos a ele )

[tex3]t=z + ztC_{1}[/tex3]

Mas , z = y' , fica ;

[tex3]t=(1 + tC_{1})y'[/tex3] ( Novamente uma EDO de variáveis separáveis )

[tex3]t=(1 + tC_{1})\frac{dy}{dt}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+tC_{1}}dt=\int\limits_{}^{}1dy[/tex3]

[tex3]\frac{C_{1}t-ln|1+C_{1}t|}{C_{1}^{2}}+k=y+c[/tex3]

Portanto,

[tex3]C_{1}^{2}y=C_{1}t-ln|1+C_{1}t|+C_{2}[/tex3] , se [tex3]C_{1}[/tex3] ≠ 0


Voltemos para [tex3]\frac{1}{z}=\frac{1}{t}+C_{1}[/tex3]

Fazendo [tex3]C_{1}=0[/tex3], resulta;

z = t

Mas, z = y' , então;

y' = t

[tex3]\int\limits_{}^{}1dy=\int\limits_{}^{}t
dt[/tex3]

y = [tex3]\frac{t^2}{2}+C_{2}[/tex3] , se [tex3]C_{1}[/tex3] = 0



Bons estudos!