Ensino Médio ⇒ Explicação sobre um trecho de um livro de matemática

[marcos_aps]

Olá a todos.

No livro A Matemática do Ensino Médio, Volume I, de Elon Lages Lima, existe o seguinte trecho no capítulo de funções quadráticas:

"A primeira observação que faremos é: os coeficientes a, b, c da função quadrática f ficam inteiramente determinados pelos valores que essa função assume. Noutras palavras, se [tex3]ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'[/tex3] para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] então a = a', b = b' e c = c'.
Com efeito, seja [tex3]ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'[/tex3] para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]. Tomando x = 0, obtemos c = c'. Então, cortando c e c', tem-se [tex3]ax^2+bx = a'x^2+b'x[/tex3] para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]. Em particular, esta igualdade vale para todo [tex3]x \not= 0[/tex3]. Neste caso, cancelando x, obtemos ax + b = a'x + b' para todo [tex3]x \not= 0[/tex3]. Fazendo primeiro x = 1 e depois x = -1, vem a + b = a' + b' e -a + b = -a' + b', donde concluímos a = b e a' = b'."

Gostaria que alguém me explicasse como a = b e a' = b'. Ou é isso um erro tipográfico no livro, donde o correto seria a = a' e b = b'?

Muito obrigado.

Marcos

[Natan]

É, me parece um erro msm!

[marcos_aps]

É, me parece um erro msm!

É o mais provável, já que fica claro que a intenção é provar que a = a', b = b' e c = c'. Obrigado.

Marcos