IME / ITA ⇒ (ITA - 1992) Binômio de Newton Tópico resolvido

[brain_tnt]

A igualdade

• [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^n+\sum_{j=0}^{m} {m\choose j}\cdot 2^m=64[/tex3]

é válida para:

a) quaisquer que sejam [tex3]n[/tex3] e [tex3]m[/tex3] naturais e positivos.
b) qualquer que seja [tex3]n[/tex3] natural positivo e [tex3]m=3.[/tex3]
c) [tex3]n=13[/tex3] e [tex3]m=6.[/tex3]
d) [tex3]n[/tex3] ímpar e [tex3]m[/tex3] par.
e) n.d.a.

[cajuADMIN]

Olá brain_tnt,

Note que podemos modificar os somatórios para que eles mostrem exatamente a representação da expansão de dois binômios de Newton:

• [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j} \cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]

e podemos colocar o [tex3](-1)^k[/tex3] junto com [tex3]7^k[/tex3]

• [tex3]\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cdot (-7)^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j}\cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]

Agora sim, esta é a expansão dos seguintes binômios de Newton:

• [tex3](7-7)^n+(2+2)^m=64[/tex3]
  
  [tex3]0^n+4^m=4^3[/tex3]

Veja que [tex3]n[/tex3] pode ser qualquer número positivo (mas tem que ser natural pois faz parte de um número binomial). Enquanto [tex3]m[/tex3] tem que ser [tex3]3.[/tex3]