IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Polígonos Regulares Tópico resolvido

[alinebotelho]

O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro
formam entre si ângulo expresso em graus por número inteiro, é:
(A) 17
(B) 18
(C) 21
(D) 23
(E) 24

[Alexandre_SC]

o ângulo referido é a bissetriz do ângulo externo.

sendo o angulo externo dado por 360n = A
logo o valor é 180n = A
para a ser inteiro n deve ser um divisor de 180

fatorando 180
temos
[tex3]2^2*3^2*5[/tex3]

o que nos dá 18 possíbilidades!

[agp16]

Olá, Alexandre_SC e alinebotelho,

Sabemos que faz tempo que a questão passou pelo forum, porém o resultado não seria 17 , ou poderiam complementar a informação. Obrigado.

[ALDRINMOD]

Também fiquei com essa dúvida.

[Alexandre_SC]

realmente n deve ser diferente de dois

Já fazia um bom tempo que eu não vinha nesse fórum.

Mas é bom saber que minha conta e minhas postagens estão sendo guardadas.
Vim aqui para procurar algumas interessantes para indicar a uma amiga.

[LucianaEmail]

No caso dos divisores de 180, n = 1, pode sim, pois n é o angulo da bissetriz, e pode ser 1º, vai formar um poligono de 360 lados.
Agora o divisor 180, é que não pode pois não vai formar poligono de 2 lados.

divisores de 180 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 60, 90, 120, 180}
n de divisores de 180 = 18

18 - (números de divisores q não formam poligonos) = 18 - 1 = 17(resposta).

[lecko]

Considerando que os polígonos pedidos no enunciado são regulares, logo são inscritíveis, então pode ser observado que se traçarmos as diagonais que passam pelo centro elas dividirão o ângulo da circunferência em uma determinada parte que será proporcional ao número de lados do polígono.
Se o ângulo formado tem que ser inteiro, então temos que saber a quantidade de divisores de [tex3]360[/tex3].
[tex3]360=2^3.3^2.5[/tex3]
[tex3]Q_{(d)}=(3+1)(2+1)(1+1)=4.3.2=24[/tex3]
temos [tex3]24[/tex3] possibilidades, no entando se observarmos os divisores vemos que alguns valores não servem, pois não formam polígono algum:
Os divisores são:[tex3]\{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360 \}[/tex3],porém se observarmos veremos que os valores [tex3]180[/tex3] e [tex3]360[/tex3] não servem para formação de polígonos, e mais, podemos somente pegar os números pares pois os polígonos cujos lados são ímpares não possuem diagonal passando pelo centro.

Verificação:
Ângulo do polígono(formado pelo encontro das diagonais)[tex3]=\alpha[/tex3] Número de lados do polígono[tex3]=n[/tex3]
[tex3]\alpha=1\rightarrow n=360[/tex3]
[tex3]\alpha=2\rightarrow n=180[/tex3]
[tex3]\alpha=3\rightarrow n=120[/tex3]
[tex3]\alpha=4\rightarrow n=90[/tex3]
[tex3]\alpha=5\rightarrow n=72[/tex3]
[tex3]\alpha=6\rightarrow n=60[/tex3]
[tex3]\alpha=8\rightarrow n=45[/tex3]
[tex3]\alpha=9\rightarrow n=40[/tex3]
[tex3]\alpha=10\rightarrow n=36[/tex3]
[tex3]\alpha=12\rightarrow n=30[/tex3]
[tex3]\alpha=15\rightarrow n=24[/tex3]
[tex3]\alpha=18\rightarrow n=10[/tex3]
[tex3]\alpha=20\rightarrow n=18[/tex3]
[tex3]\alpha=24\rightarrow n=15[/tex3]
[tex3]\alpha=30\rightarrow n=12[/tex3]
[tex3]\alpha=36\rightarrow n=10[/tex3]
[tex3]\alpha=40\rightarrow n=9[/tex3]
[tex3]\alpha=45\rightarrow n=8[/tex3]
[tex3]\alpha=60\rightarrow n=6[/tex3]
[tex3]\alpha=72\rightarrow n=5[/tex3]
[tex3]\alpha=90\rightarrow n=4[/tex3]
[tex3]\alpha=120\rightarrow n=3[/tex3]
[tex3]\alpha=180\rightarrow n=2[/tex3]
[tex3]\alpha=360\rightarrow n=1[/tex3]

Logo observamos que os polígonos cujos lados são [tex3]n= \{ 45,15,9,5,3,2,1\} \rightarrow 7[/tex3] [tex3]valores[/tex3] não possuem diagonal que passa pelo centro
então são [tex3]24-7 = 17[/tex3]