Ensino Médio ⇒ Geometria - Livro de 1000 Tópico resolvido

[lecko]

Na figura abaixo o Triângulo [tex3]ABC[/tex3] possui lados: [tex3]\overline{AB}=20[/tex3] [tex3]\overline{AC}=15[/tex3] sabendo que a base [tex3]\overline{BC}[/tex3] é paralela a Base [tex3]\overline{B'C'}[/tex3] do triângulo [tex3]AB'C'[/tex3] e que [tex3]\overline{AB'}=25[/tex3]. Qual o valor de [tex3]\overline{AD}[/tex3] ?

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OBS.: O gabarito informa que AD=12

[lecko]

tá meio apagado mas, [tex3]D[/tex3] é o ponto de interseção de [tex3]\overline{BC}[/tex3] com [tex3]\overline{AC'}[/tex3]

[lecko]

Bom, vou postar o que fiz mesmo não saber se está correto:
primeiro Joguei lei dos Senos:
[tex3]\frac{A}{Sen \hat{A}}=\frac{B}{Sen \hat{B}}=\frac{C}{Sen \hat{C}}=2R[/tex3]
logo [tex3]\frac{20}{Sen \widehat{C}}=\frac{15}{Sen \widehat{B}}=\frac{25}{Sen \widehat{C'}}=2R[/tex3]
Como podemos reparar no triângulo [tex3]\widehat{ABC}[/tex3] Seus lados são múltiplos de [tex3]3[/tex3] e [tex3]4[/tex3].
Veja: [tex3]20=4.5[/tex3] e [tex3]15=3.5[/tex3] logo podemos inferir que o triângulo é retângulo, então seu terceiro lado será [tex3]25[/tex3] que é a hipotenuza, para conferir se o que inferimos é verdadeiro basta jogar os valores dos senos na lei dos senos:
[tex3]Sen \widehat{C}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]Sen \widehat{B}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}[/tex3]
[tex3]Sen \widehat{C'}=1[/tex3] pois se notarmos [tex3]25[/tex3] é o diâmetro da circunferência, então o triângulo [tex3]AB'C'[/tex3] também é retângulo, por isso [tex3]Sen 90º=1[/tex3].
Se jogarmos esses valores na lei dos senos veremos que todos eles cairão em uma igualdade, o que prova que o triângulo é retângulo.
Logo se [tex3]AB'C'[/tex3] é retângulo em [tex3]C'[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] é paralelo à [tex3]B'C'[/tex3] então o segmento [tex3]AD[/tex3] é altura de [tex3]ABC[/tex3], jogando relações métricas do triângulo retângulo temos:
[tex3]AH=BC[/tex3]
[tex3]25 \overline{AD}=15.20 \rightarrow \overline{AD}=12[/tex3]
Bom vê se eu fiz correto galera.
Obrigado a todos, vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

[tex3]Sen \widehat{C'}=1[/tex3] pois se notarmos 25 é o diâmetro da circunferência, então o triângulo AB'C' também é retângulo, por isso [tex3]Sen 90=1[/tex3].

Acho que você errou está parte.

O que lhe garante que [tex3]sin C'=1[/tex3]?

Abraço.

[lecko]

O segmento [tex3]AB'[/tex3] é igual a [tex3]25[/tex3] como o segmento é o diâmetro da circunferência, sabe-se que o triângulo é retângulo....
E também tem um "teorema" que se chama Arco Capaz.
E como tinhamos falado que o triângulo [tex3]ABC[/tex3] era retângulo sem saber o Lado [tex3]BC[/tex3] e depois, provamos por lei do senos que ele era retângulo de hipotenusa [tex3]BC=25[/tex3], e como [tex3]AB'=25[/tex3], por arco capaz é possível saber que o ângulo oposto à [tex3]AB'[/tex3] é retângulo, e nesse caso esse ângulo está no vértice C'.
Como [tex3]Sen \widehat{C'}=Sen 90=1[/tex3].
Foi assim que fiz.
Vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

Acho que você está misturando as coisas, dizer que ABC é retângulo tranquilo. Mas quanto ao arco capaz, não entendi como é que você usou.

Posso estar errado, mas acredito que não, mas [tex3]sin C' \neq 1[/tex3], ou seja, o ângulo de C não é 90, se for então a reta B'C' não é paralela a BC.

Abraço.

[lecko]

Arco Capaz: São infinitos arcos comuns à mesma corda e que formam o mesmo ângulo.

arcocapaz.gif (1.99 KiB) Exibido 813 vezes

Pela figura acima vemos que o arco [tex3]AB[/tex3] é o arco capaz do ângulo de [tex3]V_1[/tex3], [tex3]V_2[/tex3] e [tex3]V_3[/tex3], sendo que pelas relações de arco e ângulo de uma circunferência podemos ver que [tex3]V_1=[/tex3] menor arco [tex3]\frac{AB}{2}[/tex3] e o mesmo para [tex3]V_2[/tex3] e [tex3]V_3[/tex3], então a relação dos ângulos é [tex3]V_1=V_2=V_3[/tex3].
Como [tex3]AB=25=AB'[/tex3], logo podemos falar que: se as cordas são comuns, os ângulos também serão.
Por isso se [tex3]ABC[/tex3] é retângulo [tex3]AB'C'[/tex3] também é.
Bom eu acho que é isso, sem falar isso não sei fazer esse exercício.
Vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

Como o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retângulo em A temos que o arco BC vale 180, certo?
Para que o [tex3]\Delta AB'C'[/tex3] seja retângulo em C o arco AB' também deve ser 180, e para que isso ocorra a reta AC' deve ser perpendicular a reta BC e desta forma a reta AB' deverá passar pelo centro da circunferência.

Abraço.

[lecko]

Sim, foi isso o que eu disse ser é verdadeiro.
Só dizendo isso que consegui fazer a questão, se isso for falso não sei como fazer.
Desde já agradeço aos que estão ajudando e aos que ajudarem.
Vlw/abraços.

[FilipeCaceres]

Acabei de chegar em casa e fiz uns rabiscos e encontrei a mesma coisa que você. Se você quiser posso postar uma figura desenhada certinho para você levar par ao teu professor. Uma outra coisa, se você fizer isso, organize melhor os passos da sua solução.Primeiro demostrar que é um retângulo em A para depois dizer que é um triângulo retangulo, se você falar que fez usando um retângulo direto eles vão dizer que está errado.

Abraço.