Olimpíadas ⇒ Representação decimal

[RonaldoJr]

As representações decimais de [tex3]2^{1999}[/tex3] e [tex3]3 ^{1999}[/tex3] são justapostas. O número de algarismos escritos é:

a) 1999
b) 2000
c) 2001
d) 3998
e) 3999

Não sei o gab

[lecko]

Sabe-se que a quantidade de algarismos de um produto pode ser Estimada da seguinte forma:
Exemplos:
Sejam os números 2, 3 e 5 qual a quantidade estimada de algarismos para esse produto ?
É só fazer
Estimativa Máxima: [tex3](\alpha +\beta +\theta)[/tex3]
Estimativa Mínima: [tex3](\alpha +\beta +\theta) -(n-1)[/tex3] sendo [tex3]\alpha, \beta, \theta[/tex3] a quantidade de algarismos de cada número, e [tex3]n[/tex3] a quantidade de bases de números distintos, ou seja, em [tex3]2^{1999}[/tex3] o valor de [tex3]n=1[/tex3], pois só possui uma base, que é o [tex3]2[/tex3]
A estimativa de [tex3]5.2.3[/tex3] é [tex3]Max.=(1+1+1)=3[/tex3] e [tex3]Min.=(1+1+1)-(3-1)=1[/tex3], ou seja essa está contida no intervalo: [tex3]1\leq Q_{(Algs.)}\leq 3[/tex3] Sendo [tex3]Q_{(Algs.)}[/tex3] a quantidade de algarismos.
Bom vamos a resolução então:
Sabe-se que [tex3]2^{1999}=2.2.2....2.2.2[/tex3] ou seja [tex3]2[/tex3] vezes [tex3]2[/tex3] [tex3]1999[/tex3] vezes, e o mesmo vale para o [tex3]3^{1999}[/tex3]
A estimativa de algarismos para o [tex3]2^{1999}[/tex3] é: [tex3]Min.=(1999)-(1-1)=1999[/tex3] [tex3]Max.=1999[/tex3]
Isso quer dizer que [tex3]Q_{(Algs.)}=1999[/tex3]
Se fizermos a estimativa de algarismos de [tex3]3^{1999}[/tex3] acharemos o mesmo valor que para [tex3]2^{1999}[/tex3]
Como são justapostos a Sua soma será a quantidade total de algarismos, então: [tex3]1999+1999=3998[/tex3]

Edit.: Concertei um pequeno erro nos meus cálculos, mesmo que não atendam a este enunciado deve-se apresentar métodos corretos aqui no fórum.
Desde já obrigado a todos, vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

Estou achando estranho esta questão, visto que para calcularmos o número de algarismos, basta fazer o seguinte:
[tex3]S=\left \lfloor \log N \right \rfloor+1[/tex3]

Logo, temos:
[tex3]S_1=\left \lfloor \log2^{1999} \right \rfloor+1=\left \lfloor 1999\cdot\log2 \right \rfloor+1[/tex3]
[tex3]S_1=602[/tex3]

Analogamente temos,
[tex3]S_2=\left \lfloor \log3^{1999} \right \rfloor+1=\left \lfloor 1999\cdot \log3 \right \rfloor+1[/tex3]
[tex3]S_1=954[/tex3]

Sendo assim temos que o total de algarismos é:
[tex3]S_t=S_1+S_2[/tex3]
[tex3]\boxed{S_t=1556}[/tex3] que não tem nas alternativas.

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Agora fico a pensar,será que eles não queriam apenas isso:
[tex3]N=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \cdot \cdot \cdot 2}_{1999\,2's}\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot 3}_{1999\,3's}[/tex3]

Logo a quantidade de algarismos de N seria [tex3]\underbrace{1999}_{2}+\underbrace{1999}_{3}=3998[/tex3].

[RonaldoJr]

Eu tbm achei estranho filipecaceres...Para mim a sua solução está correta! Tive a sensação de que houve erro na digitação da questão (original)...
Se fosse [tex3]5^{1999}[/tex3] e [tex3]2^{1999}[/tex3] ai sim daria certo... Gab [tex3]2000[/tex3]

Vlw lecko e filipecaceres!

[FilipeCaceres]

Sempre que tiver a gabarito poste junto, existe uma "alerta" bem grande em amarela quando se posta dizendo para colocar o gabarito.

Como o gabarito é 2000 existe uma grande chance de estar incorreto o enunciado ou pode ser que tenha sido trocado as alternativas.

Abraço.

[lecko]

Achei que ele queria a soma da estimativa Máxima da Quantidade de algarismos.
Na verdade me enganei pois ele queria a quantidade exata.
De qualquer modo fica aí mais um meio de buscar soluções....
Vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

Sempre devemos buscar o valor exato, a estimativa devemos deixá-la por última.

Abraço.

[lecko]

Consegui ver uma outra maneira de se fazer isso(Usando princípios de congruência):
Notemos que para saber os algarismos de um número precisamos colocá-lo em determinado módulo [tex3]10^{x}[/tex3]
Ex:
Saber os algarismo das unidades e o das centenas de [tex3]1259[/tex3], basta fazer:
Algarismo das unidades [tex3]\rightarrow 1259 \equiv 9 (mod 10^1)[/tex3]
Algarismo das centenas [tex3]\rightarrow 1259 \equiv 2 (mod 10^3)[/tex3]
Ou seja para saber a quantidade de algarismos de um número [tex3]N[/tex3] faz-se o número congruente ao menor expoente possível que o deixe com o resto [tex3]N[/tex3], ou seja o quociente da divisão deve ser [tex3]0[/tex3].
OBS.: a quantidade de algarismos será igual ao valor do expoente de [tex3]10[/tex3].
Façamos então:
[tex3]2^{1999} \equiv 2^{1999} (mod 10^{x})[/tex3] Como sabemos por propriedade que o módulo é o divisor, e que nesse caso o resto [tex3]=[/tex3] quociente, temos que o Divisor [tex3]\gt[/tex3] Dividendo, ou seja, [tex3]10^{x} \gt N[/tex3]
Então [tex3]10^{x} \gt 2^{1999}[/tex3] transformando para [tex3]\log[/tex3] [tex3]\rightarrow \log 10^{x} \gt \log 2^{1999} \rightarrow x \log 10 \gt 1999 \log 2[/tex3] como [tex3]\log 10 = 1[/tex3] então [tex3]x \gt 1999 \log 2 \rightarrow x \gt 1999.(0,3010)[/tex3] logo [tex3]x \gt 601,69900[/tex3] Como não existe quantidade de algarismos fracionária a quantidade será arredonda para [tex3]602[/tex3].
Da mesma maneira se procede para [tex3]3^{1999}[/tex3], fazendo os cálculos teremos [tex3]x \gt 953,765389[/tex3] logo [tex3]x= 954[/tex3] algarismos

[tex3]954+602=1556[/tex3] algarismos

Então o resultado seria esse, porém também creio que tenha havido um erro de digitação então façamos ao invés de [tex3]3^{1999}[/tex3] façamos [tex3]5^{1999}[/tex3].
O que nos daria [tex3]x \gt 1397,24104[/tex3] logo temos [tex3]1398[/tex3] algarismos.
Somando temos: [tex3]1398+602=2000[/tex3].
Bom agora acho que consegui, vlw galera\abraço.

[FilipeCaceres]

Em resumo, o teu cálculo resulta no que eu já havia falado [tex3]S=\left \lfloor \log N \right \rfloor+1[/tex3].

Abraço.

[lecko]

Sim, eu meio que provei essa relação.
Vlw/abraço.