EUA- 1999

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victoria Offline: Mensagens: 207; Registrado em: 23 Fev 2011, 20:26; Agradeceu: 8 vezes; Agradeceram: 48 vezes

Jul 2011 18 10:23

EUA- 1999

Mensagempor victoria » 18 Jul 2011, 10:23

Mensagem por victoria » 18 Jul 2011, 10:23

(EUA-99)- O número de pares ordenados inteiros (m,n) tais que m.n [tex3]\geq[/tex3] 0 e [tex3]m^3 + n^3[/tex3] + 99mn= [tex3]33^3[/tex3] é igual a:

A) 2
B) 3
C) 33
D) 35
E) 99

Resposta

Alternativa D

Editado pela última vez por victoria em 18 Jul 2011, 10:23, em um total de 1 vez.

victoria

FilipeCaceres Offline: Mensagens: 2504; Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47; Agradeceu: 79 vezes; Agradeceram: 975 vezes

Jul 2011 19 21:02

Re: EUA- 1999

Mensagempor FilipeCaceres » 19 Jul 2011, 21:02

Mensagem por FilipeCaceres » 19 Jul 2011, 21:02

Olá,
Relembrando a fatoração para soma ou diferença dos cubos de três variáveis
[tex3]x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac12\cdot(x+y+z)\cdot[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2][/tex3]

Fazendo [tex3]x=m[/tex3], [tex3]y=n[/tex3],[tex3]z=-33[/tex3], nós temos que
[tex3]m+n=33[/tex3], que tem 34 soluções

[tex3]m=m=-33[/tex3], uma solução possível

Logo, o total de solução é [tex3]\boxed{35}[/tex3].

Abraço.

Editado pela última vez por FilipeCaceres em 19 Jul 2011, 21:02, em um total de 1 vez.

FilipeCaceres

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Primeira Postagem

Ittalo25

Seja [tex3]a_2, a_3,a_4,a_5,a_6,a_7[/tex3] valores inteiros que satisfaçam a equação: [tex3]\frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}[/tex3]. Sabendo que [tex3]0\leq a_i < i[/tex3] para i ...

Últ. msg

Anonymous

tranquilo, multiplica tudo por 24 (4!)
[tex3]5\cdot\frac{4!}{7} = 12a_2 + 4a_3 + a_4 + \frac{42a_5 + 7a_6 + a_7}{210}[/tex3]

repare ai que a parte fracionária é menor que 1, pois seu valor máximo é:

[tex3]\frac{42\cdot4 +7\cdot5+6}{210} = \frac{209}{210}<1[/tex3]...
Ittalo251PedroCunha1Auto Excluído (ID:12031)1: 2 Resp.; 1808 Exibições; Últ. msg por Anonymous
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Primeira Postagem

victoria

Sabendo que a equação [tex3]z(z+i)(z+3i)=2002i[/tex3] é da forma [tex3]a+ bi[/tex3] tal que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais positivos e diferentes de zero. Então o valor de [tex3]a[/tex3] é igual a :

a) [tex3]\sqrt {118}[/tex3]
b)...

Últ. msg

poti

Desenvolvendo a expressão, temos:

[tex3]z^3 + 4iz^2 - 3z - 2002i = 0[/tex3]

Podemos fatorar da seguinte maneira:

[tex3](z + 14i)(z^2 - 10iz - 143) = 0[/tex3]

[tex3]{-}14i[/tex3] é uma raiz, mas não interessa pra gente. As outras raízes vão sair...
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Ittalo25

Teorema de Marlen:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

Usando o que foi dado:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2+PA^2+PB^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2 = \frac{PD^2}{2}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo APD:

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Sabendo que :
[tex3]\sum_{k=0}^{1998} \frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!} + \frac{1}{2001!}[/tex3] vale [tex3]k[/tex3].
Então o valor de [tex3]2008.k[/tex3] é igual a :
a)[tex3]2008[/tex3]
b)[tex3]1004[/tex3]
c)[tex3]502[/tex3]
d)[tex3]2009[/tex3]
e)[tex3]251[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

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theblackmamba

Olá Agash,

Pegaremos inicialmente a a parte abaixo do somatório:

[tex3]\frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!}=[/tex3]
[tex3]\frac{k+3}{(k+1)! \cdot [1+(k+2)+(k+3)(k+2)]}=[/tex3]
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