Ensino Médio ⇒ Provas Epcar

[jrluizss]

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado “a”. Por A e C traçam-se AM e CN paralelos. Se a distância entre AM e
CN é a/5, então o seno de alfa vale:

[Thadeu]

Se a distância entre AM e CN é [tex3]\frac{a}{5}[/tex3], podemos dizer que no triângulo CBN o lado BN vale [tex3]\frac{4a}{5}[/tex3]

Calculando a hipotenusa CN
[tex3](CN)^2=\(\frac{a}{5}\)^2+\(\frac{4a}{5}\)^2\\CN=\sqrt{\frac{17a^2}{25}}\\CN=\frac{a\,\sqrt{17}}{5}[/tex3]

O seno do ângulo [tex3]\alpha[/tex3] é:
[tex3]sen\alpha=\frac{BN}{CN}\\sen\alpha=\frac{\frac{4a}{5}}{\frac{a\,\sqrt{17}}{5}}\\sen\alpha=\frac{4\,\sqrt{17}}{17}[/tex3]

Confira a resposta pois eu fiz direto no computador...

[aleixoreis]

Prezado Thadeu:
Tenho a seguinte dúvida: a distância entre AM e NC não é medida na perpendicular entre essas duas retas?

[]'s.

[aleixoreis]

No post anterior eu apresentei uma dúvida referente à medida da distância entre duas retas paralelas.

Tentei, então, uma solução por geometria analítica:

Consideremos o eixo dos x sobre AB e o eixo dos y sobre AD.Chamemos de b o segmento NB, de r a reta AM, de s a reta NC e de [tex3]\beta[/tex3] o ângulo formado
por r com o eixo dos x.
Então temos os pontos A(0 0) e C(a a) e [tex3]tan\beta=\frac{a}{b}[/tex3] que é o coeficiente angular de r e de s.

Reta r: [tex3]y=\frac{a}{b} x\rightarrow by-ax=0[/tex3]

Reta s: [tex3](y-a)=\frac{a}{b}(x-a)\rightarrow by-ax-a(b-a)=0[/tex3]

A distância entre r e s: [tex3]\frac{a}{5}=\frac{|a(b-a)|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{a^2+b^2}=5(b-a)[/tex3]

Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando:
[tex3]12b^2+12a^2-25ab=0[/tex3]
Dividindo os termos por [tex3]b^2\rightarrow 12+12(\frac{a^2}{b^2})-25\frac{a}{b}=0[/tex3]

Substituindo [tex3]\frac{a}{b} \,por\,tan\beta\rightarrow 12(tan\beta)^2-25tan\beta+12=0[/tex3]

Resolvendo [tex3]tan\beta=\frac{4}{3}\, ou\, tan\beta=\frac{3}{4}[/tex3]
O ângulo [tex3]\beta[/tex3] é maior que 45º então sua tangente é maior que 1, sendo assim [tex3]tan\beta=\frac{4}{3}[/tex3]

Com o valor [tex3]\frac{4}{3}\rightarrow \frac{a}{b}=\frac{4}{3}\rightarrow b=\frac{3a}{4}\,;\, sen\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

Substituindo b por [tex3]\frac{3a}{4}[/tex3] e calculando vem: [tex3]sen\alpha=\frac{3}{5}[/tex3]


[]'s.

[SirTcgm]

Por favor, alguém tente postar outra resposta que, embora esta esteja certa como conferido com o GeoGebra (: , a resolução ficou enorme.

Epcar.png (18.61 KiB) Exibido 6037 vezes

Chamando [tex3]\overline{AF}[/tex3] de [tex3]x[/tex3], sabendo que o lado do quadrado mede [tex3]a[/tex3], [tex3]\overline{GF}=\frac{a}{5}[/tex3] e que [tex3]\angle{AFG}=\alpha[/tex3], temos que:

[tex3]\text{cos}\alpha=\frac{\frac{a}{5}}{x}\Rightarrow \text{cos}\alpha=\frac{a}{5x}[/tex3]

Pela relação fundamental da trigonometria achamos que [tex3]\text{sen}\alpha=\frac{\sqrt{25x^2-a^2}}{5x}[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

Pegando agora o triângulo [tex3]FCD[/tex3]. Por Pitágoras [tex3]\overline{FC}=\sqrt{2a^2-2ax+x^2}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
[tex3]\text{sen}\alpha=\frac{\overline{FD}}{\overline{FC}}=\frac{a-x}{\sqrt{2a^2-2ax+x^2}}[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

Igualando [tex3](I)[/tex3] e [tex3](III)[/tex3] chegamos a [tex3]12x^2+ax-a^2=0[/tex3] , que tem como raizes [tex3]\, -\frac{a}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{a}{4}[/tex3]
Apenas a segunda é possível, já que um comprimento não pode ser negativo. Ou seja [tex3]x=\frac{a}{4}[/tex3]

Agora que sabemos quanto mede [tex3]\overline{AF}[/tex3], sabemos também que [tex3]\overline{FD}=\frac{3}{4}a[/tex3]

Substituindo [tex3]x[/tex3] em [tex3](II)[/tex3] achamos que [tex3]\overline{FC}=\frac{5}{4}a[/tex3] e que [tex3]\boxed{\text{sen}\alpha=\frac{3}{5}}[/tex3]

Ufa! kk

TM

[jrluizss]

Usando as idéias do fórum fiz da seguinte maneira:
o segmento AN=x o segmento GN=(a/5)
o segmento NB=a-x e o segmento BC=a
observe que os triângulos BCN e AGN SÃO SEMELHANTES teorema das retas paralelas e trans versal.
a razão de semelhança entre os lados do triângulo BCN e AGN é 5 logo o lado CN=5x
Assim, usando teorema de pitágoras temos (5x)^2 = a²+(a-x)^2 resovendo esta equação temos:
12x²+ax-a²=0 achamos x=a/4 e senalfa =(a-x)/5x