Ensino Superior ⇒ Equação com 1 ou 2 soluções: idéia de Limite

[EduardoR]

Olá pessoal,

Bom, estava ajudando minha namorada a fazer um exercício do vestibular (continue lendo...) da Mackenzie e surgiu uma dúvida.

Havia 3 afirmativas para serem julgadas e uma delas dizia:

Não existe x real tal que [tex3]\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x-2}}=|x-2|[/tex3]

É evidente que essa afirmativa é falsa, pois x=3 é real e torna a igualdade verdadeira. Problema resolvido para ELA. Mas e minha curiosidade? Minha dúvida não reside em como resolver tal equação.

Bem, de antemão, vemos que x=2 causará problemas de domínio, pois ele zera o denominador. Mas, notamos que x=2 zera o numerador também. E daí teremos uma indeterminação 0/0 do lado esquerdo da equação. Teremos 0/0 = 2.
Sabemos que 0/0 é uma operação possível e que pode resultar em qualquer valor. Por que não resultar em 0 então? Pois assim a igualdade seria verdadeira. Então agora eu vos-lhe pergunto: fazendo [tex3]\lim{\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x-2}}}[/tex3] com x-->2 teremos que o limite vale 0. Então x=2 também é solução desta equação?

Bem, a idéia de limite é verificar o valor para o qual uma determinada função TENDE (APROXIMA-SE) quando x tende para determinado valor (isso falando para funções de uma única variável). Então quer dizer que a função acima TENDE para 0 quando x TENDE a 2. Mas esse "TENDER" é suficiente para que eu possa afirmar que NO PONTO x=2 a função vale EXATAMENTE 0?

Minha suposição é que sim. E que, portanto, x=2 também é solução. Por favor, corroborem (ou não) minha suposição.

Grato.

PS: agradeceria se alguém pudesse me ensinar a fazer a notação de limite com o valor em baixo para o qual a variável tende (com flechinha e tudo mais) pois eu não consegui

[andrecaldas]

EduardoR,

Quanto ao código latex que você perguntou, eu usaria
[tex3]a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty] b[/tex3].
No entanto, o latex do fórum é um sub-conjunto mais restrito... que não implementa o xrightarrow.
http://elevatorlady.ca/doc/refcard/expressions.html


A resposta ao seu outro questionamento é a seguinte:
"A notação que se usa é totalmente ambígua! Pode-se dizer que 2 é e não é solução da equação."

TODA função possuí um domínio. Qual é o domínio de [tex3]\frac{(x-2)}{(x-2)}[/tex3]? A dificuldade que você tem se deve ao fato de não se deixar claro se o domínio incluí ou não o número 2.

Quando você diz que "0/0 é uma operação possível", está sendo pouco preciso, também.
Acho que está querendo dizer que a função pode ser estendida continuamente para incluir x = 0 em seu domínio.

Mas esse "TENDER" é suficiente para que eu possa afirmar que NO PONTO x=2 a função vale EXATAMENTE 0?

Uma função NÃO precisa ter necessariamente uma fórumula. E NÃO precisa ser necessariamente contínua. O seu "tender" significa que a função, cujo domínio é, a princípio, [tex3]\mathbb{R} \setminus \{2\}[/tex3], pode ser estendida CONTINUAMENTE de modo que seu domínio seja [tex3]\mathbb{R}[/tex3]. A função "original" e a função "estendida" são funções distintas pois possuem domínios distintos.

O problema pode ser resolvido se o enunciado da questão deixar claro qual é o domínio de definição da função [tex3]\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x-2}}[/tex3]. Sem isso, não há o que fazer... a resposta correta vai depender de quem corrige.

[cajuADMIN]

Olá andrecaldas,

O mais próximo que podemos chegar do código xrightarrow é:

[tex3]A\,\,\longrightarrow^{\text{tende a}}\,\,B[/tex3]

Utilizando a longrightarrow e um expoente. Deixe o mouse parado sobre a expressão acima para ver o código utilizado.

Um grande abraço,
Prof. Caju

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Resolvi dar uma lida mais a fundo na questão, e quero dar minha participação também.

O enunciado dado pelo EduardoR não fala de função, e sim de equação. Está perguntando se há valor de x que resulte na igualdade entre as duas expressões apresentadas. A igualdade [tex3]\frac{0}{0}=0[/tex3] não é verdadeira, independente de qualquer domínio apresentado. 0/0 é uma indefinição e quando dizemos que esta divisão pode valer qualquer número é só uma abstração. Se você diz que 0/0 vale 0, você o está definindo, e não pode, ele é indefinido.

EduardoR, você utilizou a ideia de funções para chegar na conclusão que é sua dúvida. E o andrecaldas apresentou uma possível solução indicando que a questão deveria ter esclarecido o domínio. Bom, devo discordar. Se a questão não informa o domínio, devemos pensar no maior domínio possível para aquela função.

Note que a função [tex3]f(x)=\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x-2}}[/tex3] NUNCA poderá conter x=2 em seu domínio (independente se o cara que criou a questão quiser ou não). Se contivesse x=2 em seu domínio, deixaria de ser uma função, pois deixaria de satisfazer as regras que definem o que é ser uma função:

1) Todos os valores do domínio devem ter uma relação no contra-domínio;
Se x=2 fosse do domínio, ele não teria uma relação no contra-domínio (lembrando que 0/0 não é um número real).
2) Nenhum valor do domínio pode ter duas relações no contra-domínio.

Um grande abraço,
Prof. Caju