Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton

[jose carlos de almeida]

No desenvolvimento do binômio [tex3](x + y)^{10},[/tex3] ordenado segundo as potências decrescentes de [tex3]x,[/tex3] os termos de ordens [tex3]p - 3[/tex3] e [tex3]p + 1[/tex3] têm o mesmo coeficiente. O valor de [tex3]p[/tex3] é:

a) [tex3]10[/tex3]
b) [tex3]7[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) inexistente
e) indeterminado

[alineMOD]

Oi, a fórmula do termo geral do binômio [tex3](a+b)^n[/tex3] é:

• [tex3]T_{k+1}= {n\choose k} \cdot a^{n-k}\cdot b^k[/tex3]
  
  [tex3]T_{k+1}= {10\choose k} \cdot x^{10-k}\cdot y^k[/tex3]
  
  [tex3]k+1=p-3\Longrightarrow k=p-4[/tex3]
  [tex3]k+1=p+1\Longrightarrow k=p[/tex3]

Logo, se os coeficientes dos termos de ordem [tex3]p-3[/tex3] e [tex3]p+1[/tex3] são iguais,

• [tex3]{10\choose p-4} = {10\choose p}[/tex3]

Pela propriedade dos números binomiais,

• [tex3]p-4+p=10\Longrightarrow 2p=14 \Longrightarrow p=7.[/tex3]