Ensino Médio ⇒ Diretriz e excentricidade

[RonaldoJr]

Para a hipérbole...
Seja:
[tex3]D_{Pf} \rightarrow[/tex3] distancia do ponto ao foco
[tex3]D_{Dd} \rightarrow[/tex3] distancia do ponto a diretriz
[tex3]e=\frac{D_{Pf}}{D_{Pd}}[/tex3]

Para uma hiperbole centrada na origem de equação:
[tex3]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex3]
Temos:
[tex3]D_{Pf} = c[/tex3]

Logo,
[tex3]e=\frac{c}{D_{Pd}} \rightarrow D_{Pd} = \frac{c}{e}[/tex3]

Mas sabemos que [tex3]e=\frac{c}{a}[/tex3]
Logo [tex3]D_{Pd}=a[/tex3]...
Que está errado! Porque a equação das diretrizes é [tex3]x =\pm \frac{ a}{e}[/tex3]
Sendo assim ... Para o ponto central a distancia do ponto a diretriz seria [tex3]\frac{a}{e}[/tex3]
E ai onde estou errando???... = /
Agradeço pela ajuda!

[FilipeCaceres]

Olá Ronaldo,

hiperbole.png (7.79 KiB) Exibido 603 vezes

Veja que [tex3]D_{Pf} = c[/tex3] e [tex3]D_{Pd}=a[/tex3]

Abraço.

[RonaldoJr]

Poxa, mas
Para uma hiperbole centrada na origem de equação:
[tex3]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex3]
A reta diretriz não é [tex3]x =\pm \frac{ a}{e}[/tex3]? Como a distância do centro até a diretriz é [tex3]a[/tex3] e não [tex3]\frac{ a}{e}[/tex3]...??
Desde já, muito obrigado!

[FilipeCaceres]

Olá Ronaldo,

Vou te deixar como leitura
http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node4.html
http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node10.html

Abraço.

[RonaldoJr]

Dei uma olhada achei meu erro...
Eu estava querendo usar a definição de [tex3]e=\frac{D_{Pf}}{D_{Pd}}[/tex3]
Para um ponto que não pertence a hipérbole...
Ai é claro que eu não iria achar a equação da diretriz...
Muito obrigado filipecaceres!